APLIKASI LOGIKA MATEMATIKA PADA PENYUSUNAN JARINGAN LISTRIK

unmetered
hosting
APLIKASI LOGIKA MATEMATIKA PADA PENYUSUNAN JARINGAN LISTRIK Oleh Team www.web.unmetered.co.id
BAB I
PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Plato sebagai seorang filsuf besar Yunani, sangat menghargai matematika karena daya kreasi yang terdapat di dalam ide-ide matematika dapat menformulasikan  pertanyaan-pertanyaan yang timbul dalam filsafat.
Matematika, sebagaimana ilmu-ilmu lain juga memiliki aspek teoritik dan aspek terapan atau praktik, meskipun tidak demikian mudah membedakan mana yang tergolong matematika “murni” dan mana yang tergolong matematika “terapan”. Ini lebih disebabkan oleh keabstrakan dari objek-objek kajian matematika, walaupun tidak sedikit teori-teori dalam matematika yang dibangun dari realitas lingkungan manusia.
Pada abad ke-21 ini matematika telah berkembang dengan pesat. Prosedur matematika dan materi matematika lebih banyak digunakan dalam berbagai cabang ilmu, seperti fisika, kimia, biologi, kedokteran, ekonomi dan teknik. Penggunaan matematika yang makin meningkat menunjukkan bahwa peran matematika didalam kehidupan manusia pada “abad teknologi” ini sangat mutlak.
Meskipun pada awal perkembangan matematika bertujuan untuk memenuhi kebutuhan praktis atau mencirikan keadaan yang dapat diamati seperti mengukur dan membilang. Matematika sekarang ini tidak perlu bergantung pada dunia nyata. Namun asumsi dasarnya sekaligus diambil dan dipakai di dunia nyata. Matematika berkembang dari hal-hal konkrit menuju ke yang lebih umum dan abstrak, karena pemikiran kita berdasarkan realitas. Hubungan antara konkrit dan abstrak tidak tampak jelas dan sekarang ini matematika menjadi lebih abstrak lagi.
Bagaimanapun juga matematika mempunyai hukum-hukum tertentu yang membatasi matematikawan dalam menciptakan ide-ide baru. Hukum-hukum ini adalah hukum tentang cara menalar yang benar, yaitu hukum-hukum logika, yang menjadi asas proses berpikir, karena tanpa hukum-hukum logika kita tidak dapat menalar dengan benar.
Logika Matematika yang merupakan terjemahan dari symbolic logic yang dapat diartikan sebagai tata cara berpikir atau pola berpikir matematika. Pendidik matematika perlu mengetahui sebenarnya untuk apa matematika diajarkan kepada siswa. Tentu bukan untuk mengetahui semua matematika yang ada atau sebanyak mungkin mengetahui matematika. Matematika diajarkan kepada siswa adalah untuk membantu siswa agar tertata nalarnya, terbentuk kepribadiannya serta terampil menggunakan matematika dan penalarannya dalam kehidupan kelak.              
Logika matematika merupakan satu bagian dalam matematika yang penting, dengan maksud diajarkannya antara lain agar kita lebih cermat, lebih teliti dalam membahas dan memecahkan soal-soal matematika, dan diharapkan lebih disiplin dalam pemakaian bahasa matematika, agar  lebih kritis dalam membuat pernyataan-pernyataan matematika (ST. Negoro: 1998; 193). Maksud dan tujuan tersebut merupakan suatu upaya untuk mencetak manusia yang berpengetahuan berkualitas. Dalam hal ini Islam pun mendukung terbentuknya manusia yang berkualitas. Segala bentuk pengetahuan merupakan sebuah misi suci sejauh pengetahuan tersebut sejalan dengan prinsip-prinsip pewahyuan (Mohaeni Mohamed: 2001; 7). Ayat pertama yang dinyatakan oleh Nabi Muhammad SAW, menegaskan keunggulan pengetahuan:
 


Nyatakan (Bacalah !) dengan nama Tuhan,
yang menciptakan manusia
Dari gumpalan darah yang membeku
Nyatakan Tuhan yang paling berlimpah
Dia mengajar menggunakan pena
Mengajar manusia yang tidak tahu apa-apa.
 (A.Yusuf Ali: 1983; 1761-1762)
Adayang merasa heran mengapa kata pertama dari ayat tersebut adalah Iqra’ atau perintah membaca. Padahal Nabi tidak pernah membaca suatu kitab sebelum turunnya Al-Qur’an. Keheranan ini akan sirna jika disadari arti iqra’ dan perintah ini tidak hanya ditujukan kepada Nabi semata, tetapi juga kepada setiap manusia sepanjang sejarah kemanusiaan. Realisasi perintah tersebut merupakan kunci pembuka jalan kebahagiaan hidup duniawi dan ukhrawi. Kata iqra’ dapat memiliki beraneka ragam arti. Antara lain menyampaikan, menelaah, membaca, mendalami, meneliti, mengetahui ciri-ciri sesuatu, dan sebagainya yang kesemuanya bermuara pada arti “menghimpun”. Demikian Quraish Shihab menjelaskan di dalam tafsirnya.Sedangkan Tony Buzan mendefinisikan membaca adalah hubungan timbal balik individu secara total dengan informasi simbolik (Agus Nggermanto: 2001; 135)
Banyak ayat al-Qur’an yang mengungkapkan berulang kali tentang pengetahuan yang suci. Hal ini mencerminkan adanya alasan intelektual yang digunakan untuk mencari yang paling baik. Al-Qur’an sebagai simbol wahyu Islam menjelaskan bahwa ilmu pengetahuan dan agama tidak dapat dipisahkan.  Demikian juga matematika dan agama merupakan kesatuan. Hal ini terangkum dalam ayat sebagai berikut: 
 
Dia yang membuat matahari
Kemuliaan yang berkilau
Dan sebagai cahaya
Bahwa Dia mengetahui jumlah tahun
Dan hitungan waktu
Sekali-kali tidak Tuhan ciptakan ini
Tetapi dalam kebenaran dan keadilan
Dan menjelaskan tanda-tandanya-Nya
Secara jelas pada orang-orang yang mengerti
(A.Yusuf Ali:1983; 484-485)
Ini menunjukkan bahwa pengetahuan tentang berhitung atau pengetahuan tentang matematika perlu dikuasai oleh semua orang. Begitu juga logika matematika sangat perlu dan penting untuk dipelajari dan dikuasai. Logika akan dapat membantu mengatur pemikiran kita untuk memisahkan hal yang benar dari yang salah. Seringkali kita membuat asumsi (anggapan) yang salah terhadap sesuatu hal atau terhadap orang lain, hanya karena kita salah menginterpretasikan (menafsirkan pernyataan). Seringkali pembaca mempunyai pengertian yang tidak sama dengan apa yang ditulis oleh penulis dan pendengar memiliki pengertian yang berbeda dengan apa yang dikatakan oleh pembicara. Pengertian tentang bagaimana menggunakan logika, dapat membantu kita menghindari salah penafsiran dan meningkatkan keahlian dalam berpikir analitis (Theresia M.H. Tirta Seputro: 1992; 6). Pemakaian logika matematika dalam kehidupan sangat dibutuhkan. Logika matematika yang dibahas di sini adalah logika aljabar Boole.
Aljabar Boole merupakan suatu cara baru untuk berpikir, suatu cara baru untuk menjelaskan berbagai hal. Sejauh ini penilaian masyarakat terhadap matematika sangat bergantung pada kegunaannya untuk memecahkan problem-problem nyata. Oleh karena itu, hubungan antara matematika dengan dunia nyata menjadi cukup penting. Maka dalam hal ini, aljabar Boole pun dapat diterapkan dalam kehidupan nyata, yakni dalam bidang fisika. Pertama, aljabar Boole bisa diterapkan dalam listrik, yaitu dalam sirkuit saklar atau rangkaian alat pemindah aliran listrik. Dan kedua, aljabar Boole diterapkan dalam rangkaian digital. Berdasarkan pemikiran ini, penulis berusaha mengangkat judul tentang aplikasi logika matematika pada penyusunan jaringan listrik.
B.     Pembatasan Masalah
Logika Matematika merupakan cabang ilmu yang sangat penting yang perlu dipelajari, dikembangkan, dan diterapkan dalam kehidupan. Logika matematika dapat diterapkan dalam berbagai bidang, baik dalam bidang agama, sosial, ekonami, biologi, fisika, dan pengetahuan lainnya. Oleh karena itu, penelitian ini dibatasi pada aplikasi logika aljabar Boole pada sirkuit saklar dan digital.
C.    Perumusan Masalah
Apabila kita melihat latar belakang diatas, maka dapat diuraikan dengan singkat apa yang sebenarnya menjadi pokok permasalahan dalam penelitian ini. Adapun rumusan permasalahan yang akan diselesaikan adalah bagaimana wujud atau bentuk aplikasi logika aljabar Boole dalam surkuit saklar dan digital.
D.    Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah:
1.      Untuk mengetahui dan memahami aplikasi logika aljabar Boole pada  sirkuit saklar
2.      Untuk mengetahui dan memahami aplikasi logika aljabar Boole pada digital.
E.     Kegunaan Penelitian
a.       Memberikan sumbangan ilmiah berupa informasi tentang aplikasi logika matematika pada penyusunan jaringan listrik dan rangkaian digital sehingga diharapkan bisa dijadikan kerangka acuan bagi guru untuk mencerdasakan siswa.
b.      Memberikan sumbangan pemikiran terhadap masalah-masalah yang dihadapi oleh lembaga pendidikan khususnya pendidikan matematika dalam pengaplikasian logika matematika.
F.     Tinjauan Pustaka
Pengantar Dasar Matematika Logika dan Teori Himpunan, karya Theresia M.H.Tirta Seputro, 1992, menjelaskan bahwa sistem logika dan teori himpunan banyak mempunyai aplikasi praktis. Salah satu dari aplikasi tersebut adalah dalam switching networks yang dapat juga ditafsirkan sebagai saklar/ jaringan listrik. Logika yang dimaksud di sini adalah logika proposisi.
Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru, karya E.T. Ruseffendi, 1982, menjelaskan suatu saklar yang dihubungkan seri dan paralel dalam susunan jaringan listrik. Kemudian buku Elektronika Terpadu: Rangkaian dan Sistem Analog dan Digital, karya Jacob Millman, Christos C, dan Halkias yang diterjemahkan oleh M.Barmawi dan M.O.Tjia, 1993, menjelaskan bahwa suatu sistem digital berfungsi secara biner. Alat yang digunakan sistem ini hanya mengenai dua keadaan yang mungkin.
Kemudian teori dan permasalahan tentang aljabar Boolean banyak dibicarakan oleh Elliot Mendelson, dalam bukunya yang berjudul Theory and Problems of Boolean Algebra and Switching Circuits. Masalah rangkaian listrik juga dibicarakan oleh orang Indonesia yaitu Mismail Budiono, dalam bukunya yang berjudul Rangkaian Listrik. Rangkaian digital banyak dibicarakan oleh Albert Paul Malvino, yang berjudul Digitals Principlesand Aplications dan diterjemahkan oleh Irawan Wijaya.
Berdasarkan pemikiran-pemikiran itulah yang menjadikan penulis untuk mengangkat skripsi yang berjudul “Aplikasi Logika Matematika Pada Penyusunan Jaringan Listrik”. Maksud dari penulisan ini adalah untuk memahami dan mengetahui aplikasi logika aljabar Boole pada sirkuit saklar dan digital.

 

BAB II

DASAR TEORI
A.  Konsep Logika
Konsep adalah sebuah kata yang berasal dari bahasa latin conseptusyang dibentuk dari kata conseptum yang berasal dari kata kerja concipio. Kata concipio berarti mengambil ke dalam dirinya, menerima, mengisap, menampung, menyerap, atau menangkap. Conceptum berarti mengambil, menyerap, membayangkan dalam pikiran, mengerti dan menangkap. Conceptusberarti cerapan, bayangan dalam pikiran, pengertian, dan tangkapan (Jan Hendrik Raper: 1996; 27). Mengerti sesuatu hal atau barang berarti menangkap adanya barang itu. Di sini akal budi manusia membentuk suatu gambaran tentang yang dipahami itu. Dengan demikian konsep merupakan rupa atau gambar atau bayangan dalam pikiran yang merupakan hasil tangkapan akan budi terhadap suatu objek pikiran.
Sesudah akal membentuk pengertiannya itu misalnya pengertian “burung”  maka dengan pengertian itu dapatlah kita berpikir dan atau berbicara tentang burung tanpa menghadirkan seekor burung lagi, karena pengertian itu seolah-olah berada dalam akal budi dengan perantaraan pengertian atau konsep burung itu (Burhanuddin salam: 1998; 40)
8

 

Manusia mampu mengembangkan pengatahun karena mempunyai bahasa dan kemampuan menalar. Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik konklusi yang tepat dari bukti-bukti yang ada, dan menurut aturan tertentu. Kemampuan menalar ini sangat penting dalam kehidupan sehari-hari karena merupakan sumber dari sebagian besar pengetahuan.

Menarik konklusi merupakan suatu proses untuk dapat sampai pada sesuatu yang sebelumnya kita belum tahu (konklusi) dari hal-hal yang kita ketahui menurut aturan tertentu. Aturan-aturan untuk dapat melakukan penalaran dengan tepat dapat dipelajari dalam logika.
Seringkali logika diartikan sebagai ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar sehingga diperoleh kesimpulan yang absah. Logika berasal dari bahasa Yunani. Secara etimologis logikaadalah istilah yang dibentuk dari kata logikos yang berasal dari kata benda logos yang berarti sesuatu yang diutarakan, suatu pertimbangan akal (pikiran), kata,  percakapan, atau ungkapan lewat bahasa. Kata logikos berarti mengenai sesuatu yang diutarakan, mengenai suatu pertimbangan akal, mengenai kata, mengenai percakapan, atau yang berkenaan dengan ungkapan lewat bahasa. Sebagai ilmu, logika disebut episteme atau dalam bahasa latin disebut logika scientia yang berarti ilmu logika, namun sekarang ini lazim disebut logikasaja.
Ditinjau dari sejarah perkembangannya, logika merupakan salah satu cabang filsafat yang mempelajari aturan-aturan cara menalar yang benar. Jan Hendrik Rapar (1996 ;10) menandaskan bahwa logika adalah ilmu dalam lingkungan filsafat yang membahas prinsip-prinsip dan hukum-hukum penalaran yang tepat. Logika adalah ilmu pengetahuan (sains), tetapi sekaligus merupakan kecakapan atau keterampilan untuk berpikir secara lurus, tepat dan teratur. Dalam hal ini, ilmu mengacu pada kemampuan rasional untuk mengetahui. Sedangkan kecakapan/keterampilan mengacu pada kesanggupan akal budi untuk mewujudkan pengetahuan ke dalam tindakan. Logika adalah teknik atau metode untuk meneliti ketepatan berpikir. Logika adalah ilmu yang mempersoalkan prinsip-prinsip dan aturan-aturan penalaran yang sohih/valid.
Dari sekian banyak definisi yang pernah dibuat oleh para ahli itu, maka penulis dapat menyimpulkan bahwa logikaadalah teori berpikir atau ilmu yang mempelajari, menyusun, mengembangkan dan membahas prinsip-prinsip penalaran yang benar dan peanarikan kesimpulan yang absah baik yang bersifat deduktif maupun induktif, demi mencapai kebenaran yang dapat dipertanggung jawabkan secara rasional.
Logika menuntun seseorang tentang bagaimana pemikiran seharusnya berjalan bukan bagaimana keadaan sebenarnya pemikiran manusia berjalan. Juga tidak berarti belajar logika dapat merangsang terjadinya pemikiran yang produktif dan memperbaiki cara berpikir seluruhnya. Dalam batas-batas tertentu, cara berpikir seseorang dapat diperbaiki dengan mempelajari logika.
Apakah suatu tindakan itu benar atau salah ? Suatu motif itu baik atau buruk ? Suatu keputusan benar atau salah ? Suatu jawaban ya atau tidak ? Seringkali jalan pikiran dan logika kita berkenaan dengan upaya untuk mencari jawaban atas pertanyaan-pertanyaan yang dua nilai semacam itu. Hakikat logika dua nilai itu sangat mempengarui pemikiran Aristoteles, yang menyusun metode-metode secara tepat untuk memperoleh kebenaran, dengan diberikannya seperangkat asumsi-asumsi yang benar. Logika semacam itu juga menarik perhatian para matematikawan, yang secara intuitif merasakan adanya hubungan antara logika itu dengan suatu proses aljabar.
De Morgan membuka jalan yang menghubungkan logika dengan matematika. Namun Boole pada tahun 1854 yang berhasil merangkum segala sesuatunya. Boole menemukan suatu aljabar baru yang menggantikan metode Aristoteles. Boole membuktikan bahwa logika biner atau logika dua nilai berlaku untuk huruf-huruf dan lambang-lambang sebagai pengganti kata-kata yang dipakai oleh Aristoteles. Metode aljabar Boole digunakan untuk menguraikan, memanipulasi, dan menyederhanakan pernyataan logika dengan cara yang sistematik. Keunggulan aljabar Boole ini terletak pada kesederhanaan, ketelitian, dan ketepatannya.
Aljabar Boole tidak mempunyai dampak terhadap elektronika digital sampai hampir satu abad berikutnya pada tahun 1938, ketika Shannon menerapkan aljabar baru tersebut pada rangkaian pengalihan telepon (telephone switching circuit). Karena suatu saklar pengalih adalah suatu peralatan biner (terhubung atau terputus), Shannon mampu menganalisis dan merancang rangkaian pengalih yang rumit itu dengan menggunakan aljabar Boole (Budiono Mismail: 1998; 60).
B.  Aljabar Boole
Matematika merupakan sarana yang berguna dalam analisis rangkaian listrik dan digital. Semua operasi logika dalam rangkaian listrik tergantung pada ada atau tidaknya arus, dan pada rangkaian digital tergantung pada ada atau tiadanya sinyal. Suatu variabel logika hanya dapat mempunyai salah satu dari dua nilai yang mungkin terjadi. Matematika dengan logika dua nilai itu disebut aljabar Boole.
Aljabar Boole sebagaimana halnya dengan sistem matematika deduktif yang lain, merupakan suatu himpunan unsur, himpunan operasi dan sejumlah aksioma. Suatu himpunan unsur adalah setiap kumpulan besaran yang memiliki sifat sama. Jika S adalah suatu himpunan, dan x dan y adalah besaran tertentu, maka x di S menyatakan bahwa x unsur dalam S, sedangkan y tidak di S menunjukkan bahwa y bukan unsur dalam S. Suatu himpunan dengan sejumlah unsur yang dapat dihitung dinyatakan dengan tanda kurawal A = {1, 2, 3, 4}; yang artinya unsur-unsur dalam himpunan A adalah bilangan 1, 2, 3, dan 4. Suatu operasi biner pada suatu himpunan S yang mempunyai anggota didefinisikan sebagai suatu aturan yang menetapkan bahwa untuk setiap pasangan dalam unsur S ada suatu unsur yang unik dalam S itu (Mismail Budiono: 1998; 61).
Himpunan dan proposisi, keduanya kelihatan memiliki sifat-sifat yang sama, yakni memenuhi hukum-hukum yang identik. Hukum-hukum ini adalah hukum-hukum yang digunakan untuk mendefinisikan sebuah struktur matematika yang abstrak yang dinamakan sebuah aljabar Boole, yang dinamai menurut sarjana matematika George Boole yang hidup pada tahun 1813 M dan wafat pada tahun 1864 M (Seymour Lipschuts: 1985; 232).
a.   Definisi Aljabar Boole
Menurut Elliot Mendelson definisi aljabar Boole adalah sebagai berikut:
 “By a Boolean algebra we mean a set B together with two binary operations Ù and  Ú on B, a singulary operations  ¢ on B, and two specific elements 0 and 1 of B such that the following axioms hold
(1)   For any x and y in B, x Ú y = y Ú x
(2)   For any x and y in B, x Ù y = y Ù x
(3)   For any x, y, z in B, x Ù (y Ú z) = (x Ùy) Ú(x Ùz)
(4)   For any x, y, z in B, x Ú (y Ù z) = (x Úy) Ù(x Úz)
(5)   For any x in B, x Ú 0 = x
(6)   For any x in B, x Ù 1 = x
(7)   For any x in B, x Ú x¢ = 1
(8)   For any x in B, x Ù x¢ =0
(9)   0 ¹1 (Elliot Mendelson: 1987; 52).
Jadi Aljabar Boole adalah suatu susunan aljabar yang terdefinisi pada suatu himpunan B bersama-sama dengan dua buah operasi biner Ù dan Ú, satu operasi singular ¢, dan dua buah unsur identitas yang unik 0 dan 1, yang harus memenuhi aksioma-aksioma berikut ini:
(1)   untuk sebarang x dan yÎB, x Ú y = y Ú x        
                                                                                  hukum komutatif
(2)   untuk sebarang x dan yÎB, x Ù y = y Ù x
(3)   untuk sebarang x, y, z ÎB, x Ù (y Ú z) = (x Ù y) Ú (x Ù z) 
                                                                                                             hukum distributif
(4)   untuk sebarang x, y, z ÎB, x Ú (y Ù z) = (x Ú y) Ù (x Ú z)
      
(5)   untuk sebarang xÎB, x Ú 0 = x
(6)   untuk sebarang xÎB, x Ù 1 = x
(7)   untuk sebarang xÎB, x Ú x¢ = 1
(8)   untuk sebarang xÎB, x Ù x¢ = 0
(9)   0 ¹ 1. (Elliot Mendelson: 1987; 53).
Theresia ( 1992; 219) menambahkan bahwa untuk setiap x di B ada x¢ di B yang disebut komplemen x sehingga aksioma (7) dan (8) terpenuhi.
Istilah : x Ùy dinamakan pertemuan (meet) x dan y
             x Ú y dinamakan gabungan (join) x dan y
             x¢ dinamakan komplemen dari x
             0 dinamakan elemen nol
             1 dinamakan elemen unit.
            Operasi biner adalah pengerjaan terhadap dua elemen suatu himpunan sehingga menghasilkan elemen tunggal yang juga merupakan elemen himpunan itu. Hukum komutatif menunjukkan bahwa urutan penambahan dan perkalian tidaklah penting. Dengan perkataan lain, diperoleh jawaban yang sama bila menambahkan x terhadap y maupun y terhadap x. Demikian pula, jawaban yang sama diperoleh bila mengalikan x dengan y maupun y dengan x. Hukum distributif menunjukkan bahwa suatu ekspresi Boole dapat diperluas dengan mengalikan term demi term seperti dalam aljabar biasa. Hukum ini juga mengandung pengertian bahwa suatu ekspresi Boole dapat difaktorkan. Dengan perkataan lain, jika diberikan jumlah dua buah term, yang masing-masing mengandung variabel yang sama, maka variabel yang sama ini dapat difaktorkan. Ini adalah (x Ùy) Ú(x Ùz). Masing-masing term mengandung x, sehingga x dapat difaktorkan untuk mendapatkan x Ù(y Úz).
b.   Teorema dalam Aljabar Boole
Dari aksioma-aksioma yang telah disebutkan pada bagian sebelum ini, dapat disusun sejumlah teorema untuk aljabar Boole.
Teorema 1: Keunikan menyangkut komplemen: jika x Ú y =1 dan x Ùy =0, maka y = x¢
Bukti:
(i)         y = y Ú 0,    menurut aksioma (5)
         = y Ú (x Ù x¢),     menurut aksioma (8)
         = (y Ú x) Ù (y Ú x¢),   menurut aksioma (4)
         = (x Ú y) Ù (y Ú x¢),   menurut aksioma (1)
         = 1 Ù ( y Ú x¢),   hipotesis
         = (y Ú x¢) Ù 1,   menurut aksioma (2)
         = y Ú x¢ ,   menurut aksioma (6)
(ii)        x¢ = x¢ Ú 0 ,   menurut aksioma (5)
          = x¢  Ú (x Ù y) ,   hipotesis
          = ( x¢ Úx)  Ù (x¢ Ú y) ,   menurut aksioma (4)
          = (x Ú x¢) Ù (x¢ Ú y),    menurut aksioma (1)
          = 1 Ù (x¢ Ú y),    menurut aksioma (7)
          = (x¢ Úy) Ù 1 ,   menurut aksioma (2)
          = x¢ Ú y ,    menurut aksioma (6)
          = y Úx¢ ,    menurut aksioma (1)
          = y ,    menurut (i)
Hubungan di atas mendefinisikan komplemen x. Untuk suatu z di B,  (z¢)¢= z ( notasi: kita artikan (z¢)¢ dengan z¢¢ , ((z¢)¢)¢ dengan z¢¢¢ dan seterusnya).
Bukti:
(i) z¢ Ú z = z Ú z¢ ,  karena menurut aksioma (1) diketahui bahwa x Úy = y Úx.
   = 1,    menurut aksioma (7)
Menurut aksioma (1) diketehui bahwa x Ú y = y Ú x, dan menurut aksioma (7) diketahui bahwa x Ú x¢ =1, diperoleh z¢ Ú z = 1
(ii) z¢ Ùz = z Ù z¢   menurut aksioma (2)
          = 0     menurut aksioma (8)
Oleh karena itu dengan menggunakan teorema 1,  misalkan x = z¢ dan y = z   diperoleh z = z¢¢
Teorema 2: Idempoten; untuk setiap unsur x ÎB, maka
(i)  x Ù x = x,
(ii) x Ú x = x.
Bukti:
(i)         x = x Ù 1,      menurut aksioma (6)
   = x Ù (x Ú x¢),     menurut aksioma (7)
               = (x Ù x) Ú (x Ù x¢),    menurut aksioma (3)
               = (x Ù x) Ú 0,    menurut aksioma (8)
               = x Ù x,    menurut aksioma (5)
(ii)        x = x Ú 0,   menurut aksioma (5)
               = x Ú (x Ù x¢),    menurut aksioma (8)
               = (x Ú x) Ù (x Ú x¢),   menurut aksioma (4)
               = (x Ú x) Ù 1,    menurut aksioma (7)
               = x Ú x,    menurut aksioma (6)
             Teorema ini menjelaskan bahwa jika setiap unsur x dilakukan operasi perkalian atau operasi penjumlahan terhadap dirinya sendiri maka diperoleh x itu sendiri.
Definisi:
            Dual dari sebarang pernyataan dalam sebuah aljabar Boolean adalah pernyataan yang diperoleh dengan menukar operasi Ù dan Ú, dan elemen-elemen satuannya 0 dan 1, dalam pernyataan semula (Elliot Mendelson: 1987; 54).
Contoh:
1). Dual dari x Ù (y Ú z) = (x Ùy) Ú(x Ùz) adalah xÚ(yÙz) = (x Úy) Ù(x Úz), dan sebaliknya.
2). Dual dari x Ú x¢  =1 adalah x Ù x¢  = 0, dan sebaliknya.
Perlu diperhatikan bahwa dual dari setiap aksioma aljabar Boolean adalah juga sebuah aksioma. Sesuai dengan itu maka berlaku prinsip dualitas, yakni:
Teorema 3: Prinsip dualitas:
Jika pernyataan A diturunkan dari aksioma (1)-(9), maka dual dari A juga diturunkan dari aksioma (1)-(9). Jadi dual dari sebarang teorema dalam sebuah aljabar Boolean adalah juga sebuah teorema. Dengan kata lain, jika sebarang pernyataan adalah sebuah konsekuensi dari aksioma sebuah aljabar Boolean, maka dual dari pernyataan tersebut adalah juga sebuah konsekuensi dari aksioma tersebut. Karena pernyataan hal itu dapat dibuktikan dengan menggunakan dual dari setiap langkah pembuktian pernyataan semula.
Bukti:
            Dual dari setiap aksioma (1)-(9) adalah aksioma semula. Aksioma (1) dan (2), keduanya merupakan dual dari yang satu dengan yang lainnya. Pasangan-pasangan dari aksioma (3) dan (4), aksioma (5) dan (6), dan aksioma (7) dan (8) merupakan dual dari yang satu dengan yang lainnya. Sedangkan aksioma (9) adalah dual dari dirinya sendiri. Kemudian jika pada pembuktian himpunan A, masing-masing pernyataan diganti dengan masing-masing dualnya, hasilnya adalah pembuktian pernyataan semula (ketika aksioma diganti dengan aksioma).
Teorema 4: Untuk semua x, y, z ÎB, maka:
            (i)         x Ù 0 = 0
      (ii)        x Ú1 = 1
      (iii)       x Ù(x Úy) = x
      (iv)       x Ú(x Ùy) = x
(v)        Jika [y Ù x = z Ùx & y Ùx¢= z Ùx¢], maka  y = z
     
(vi)       x Ú(y Úz) =(x Úy) Úz
                                                                    Hukum asosiatif
      (vii)      x Ù(y Ùz) =(x  Ù y) Ù z
      (viii)     (x Ú y)¢ = x¢ Ù y¢
                                                       Hukum De Morgan
      (ix)       (x Ùy)¢= x¢Úy¢
      (x)        x Úy = (x¢Ùy¢)¢
      (xi)       x Ùy = (x¢Úy¢)¢
      (xii)      x Ùy¢= 0  «  x Ù y = x
      (xiii)     0¢ = 1
      (xiv)     1¢ = 0
      (xv)      x Ù(x¢Úy) = x Ùy
      (xvi)     x Ú(x¢Ùy) = x Úy
Bukti:
(i)         x Ù 0 = (x Ù 0) Ú 0= (x Ù 0) Ú (x Ù x¢)
                      = (x Ù x¢) Ú (x Ù 0) = x Ù(x¢Ú0) = x Ùx¢  = 0
(ii)        Adalah dual dari (i)
(iii)       x Ù (x Ú y) = (x Ú0) Ù(x Úy) = x Ú(0 Ùy) = x Ú0 = x.
(iv)       Adalah dual dari (iii)
(v)        Diasumsikan  y Ù x = z Ù x &  y Ù x¢ = z Ù x¢ , maka
            y = y Ù1 = y Ù (x Ú x¢ ) =(y Ùx) Ú(y Ùx¢)
               = (z Ù x) Ú (z Ù x¢) = z Ù(x Úx¢) = z Ù1 = z
(vi)       Dengan menggunakan (v), misalkan y = x Ú (y Ú z) dan z = (x Úy) Úz,      maka harus ditunjukkan:
      (a)        (x Ú (y Ú z)) Ù x = ((x Ú y) Ú z) Ù x,  dan
      (b)        (x Ú (y Ú z)) Ù x¢ = ((x Ú y) Úz) Ù x¢.
Bukti:
(a)  (x Ú (y Ú z)) Ù x = x Ù(x Ú(y Úz)) = x     menurut (iii), sehingga
((x Ú y) Ú z) Ù x = x Ù ((x Ú y) Ú z)
                           = [x Ù (x Ú y)] Ú  [x Ù z]
                           = x Ú (x Ùz)     menurut (iii)
                           = x       menurut (iv)
Jadi (x Ú (y Ú z)) Ù x = x = ((x Ú y) Ú z) Ù x.
(b)  (x Ú (y Ú z)) Ù x¢ = x¢ Ù (x Ú (y Ú z))
                            = (x¢ Ù x) Ú (x¢ Ù (y Ú z))
                            = 0 Ú (x¢ Ù (y Ú z)) = x¢Ù(y Úz), maka
      ((x Ú y) Ú z) Ù x¢ = x¢ Ù  ((x Ú y) Ú z)
                            = (x¢ Ù (x Ú y)) Ú(x¢ Ùz)
                            = [(x¢ Ù x) Ú (x¢ Ù y)] Ú (x¢ Ù z)
                            = [0Ú (x¢ Ù y)] Ú  [x¢ Ù z]
                            = (x¢ Ù y) Ú (x¢ Ù z)
                            = x¢ Ù (y Ú z)
Jadi (x Ú (y Ú z) Ù x¢ = x¢ Ù (y Ú z) = ((x Úy) Úz) Ùx¢
(vii)      Adalah dual dari (vi)
(viii)     Untuk membuktikan (x Ú y)¢ = x¢ Ù y¢, adalah dengan menggunakan           teorema keunikan komplemen, maka harus ditunjukkan :
            (c)        (x Ú y) Ù  (x¢ Ù y¢) = 0, dan
(d)       (x Ú y) Ú (x¢ Ù y¢) =1.
Bukti:
 (c)       (x Úy) Ù(x¢Ùy¢) = (x¢Ùy¢) Ù(x Úy)
                        = [(x¢ Ù y¢) Ù x] Ú [(x¢ Ù y¢) Ù y]
                        = [x Ù (x¢ Ù y¢)] Ú [x¢ Ù (y¢ Ù y)]
                        = [(x Ù x¢) Ù y¢ ] Ú [x¢ Ù (y Ù y¢)]
                        = [0 Ù y¢] Ú [x¢ Ù 0]
= 0 Ú 0
= 0
(d)       (x Úy) Ú(x¢Ùy¢) = [(x Úy) Úx¢] Ù[(x Úy) Úy¢]
                        = [x¢ Ú (x Ú y)] Ù [x Ú (y Ú y¢)]
                        = [(x¢ Ú x) Ú y] Ù [x Ú 1]
                        = [(x Ú x¢) Ú y] Ù1 = (x Ùx¢) Úy
                        =1 Ú y
= y Ú 1
= 1.
(ix)       Adalah dual dari (viii)
(x)        Menurut (viii), (x Ú y)¢ = x¢ Ù y¢ , maka (x Úy)¢¢= (x¢Ùy¢)¢             padahal (x Úy)¢¢= x Úy, maka diperoleh (x¢Ùy¢)¢  = x Ú y
(xi)       Adalah dual dari (x)
(xii)      x = x Ù1 = x Ù (y Ú y¢) = (x Ù y) Ú (x Ù y¢). Diketahui x Ù y¢  = 0,
 maka x = x Ù y.
Diasumsikan x = x Ùy, maka
x Ù y¢  = 0 Ú (x Ù y¢)
= (x Ù x¢) Ú (x Ù y¢)
            = x Ù(x¢Úy¢)
= x Ù (x Ù y)¢
            = x Ùx¢= 0.
(xiii)     Ketika 0 Ú 1 = 1 dan 0 Ù 1 = 0 maka diperoleh 0¢= 1 menurut teorema 2.1.
(xiv)     Adalah dual dari (xiii)
(xv)      x Ù(x¢Úy) = (x Ùx¢) Ú(x Ùy) = 0 Ú(x Ùy) = x Ùy
(xvi)     Adalah dual dari(xv).
Teorema 5: Misalkan x, y di B, dengan B adalah sebuah aljabar Boole, maka kondisi-kondisi berikut ekuivalen satu sama lain:
(i)                 x Ù y¢ = 0
(ii)               x Ú y = y
(iii)             x¢ Ú y = 1
(iv)             x Ù y = x
Teorema 6: Aljabar rangkaian pengganti Boole adalah aljabar Boole.
Untuk mencari sifat sebuah rangkaian pengganti Boole, maka dibentuk sebuah tabel yang analog dengan tabel kebenaran untuk proposisi (Seymour Lipschuts: 1985; 235).
Pada sistem matematika logika biner yang lebih dikenal sebagai aljabar Boole, dengan mudah dapat digunakan untuk meguraikan operasi rangkaian/sirkuit saklar dan sirkuit logika yang rumit. Perancang sistem digital menggunakan aljabar Boole untuk mengubah suatu diagram rangkaian menjadi pernyataan aljabar dan sebaliknya. Akan tampak nanti dalam pembahasan bagaimana aljabar Boole itu dapat dipakai untuk menyatakan interkoneksi diantara sirkuit saklar dan sirkuit logika tersebut secara matematika.
C.  Jaringan Listrik
a.   Arus Listrik
Arus listrik adalah gerakan atau aliran muatan listrik. Arus (I) dikatakan ada dalam suatu ruang, bila di dalam ruang itu terjadi perpindahan muatan listrik dari tempat yang satu ke tempat yang lain. Jika muatan sebesar q dipindahkan melalui luas penampang kawat dalam waktu t, maka arus dalam kawat adalah jumlah muatan yang berpindah dibagi waktu yang diperlukan untuk mengadakan perpindahan itu (Frederic J.Bueche: 1994; 187)
Franklin pada tahun 1750 dengan teori aliran listriknya menggambarkan bahwa listrik sebagai suatu cairan yang tidak dapat dilihat. Jika sebuah benda mempunyai kelebihan cairan dibandingkan dengan keadaan normalnya, maka benda tersebut dikatakan bermuatan positif. Bila benda tersebut kekurangan cairan dibandingkan dengan keadaan normalnya, maka dikatakan benda tersebut bermuatan negatif. Berdasarkan teori ini Franklin menyimpulkan bahwa muatan listrik mengalir dari positif menuju ke negatif. Teori ini sampai sekarang dikenal dengan teori arus konvensional.
Sedangkan teori arus elektron menyebutkan bahwa dalam sepotong kawat tembaga, hanya muatan yang berupa elektron bebaslah yang dapat mengalir. Dengan pengaruh dari suatu medan listrik elektron-elektron bebas ini mengalir dari terminal negatif sebuah baterei melalui kawat menuju terminal positif. Hal ini sangat bertentangan dengan teori arus konvensional yang menimbulkan sebuah masalah. Setiap orang sekarang setuju bahwa muatan-muatan listrik sebenarnya mengalir dari negatif ke positif didalam sepotong kawat tembaga, tetapi tidak semua orang ingin menghindari pemakaian arus konvensional (Jacob Millman: 1993; 2)
Tradisi yang sudah ada adalah bahwa para insinyur lebih suka menggunakan arus konvensional maupun arus elektron daripada memilih salah satu dari keduanya. Pada ruang lingkup atom mereka menggunakan arus elektron untuk menerangkan apa yang sebenarnya terjadi. Di luar ruang lingkup atom mereka menganggap bahwa yang mengalir adalah muatan-muatan positif, bukan elektron. Mungkin pada suatu hari nanti seseorang akan berpaling pada arus elektron pada waktu mereka menganalisa rangkaian-rangkaian secara matematis. Tetapi pada saat ini sudah disepakati bahwa perubahan yang demikian hanya akan menimbulkan pertentangan. Jika   seseorang menganggap muatan-muatan mengalir dari positif menuju negatif, maka ia memakai arus konvensional atau dari negatif menuju positif, maka ia lebih menyukai arus elektron.
Aliran listrik dapat diibaratkan sebagai aliran air yang mengalir melalui sebuah pipa. Aliran ini bisa terjadi karena ada pompa yang memberikan energi atau tekanan terhadap air. Dengan pengertian yang sama, muatan listrik dapat mengalir didalam suatu rangkaian apabila sumber energi sebagai ‘pompa muatan’. Akibatnya muatan listrik dikenai suatu "gaya", yakni gaya gerak listrik (Bob Foster: 2000; 152).
Sebuah sirkuit adalah suatu lintasan tertutup yang mengizinkan pergerakan muatan-muatan yang disebut arus. Terdapat tiga besaran dasar yang dikaitkan dengan rangkaian listrik yaitu;
1.      Potensial listrik/ sumber listrik (V), dalam volt (V)
2.      Hambatan/ resistor (R), dalam ohm (W)
3.      Arus (I), dalam ampere (A)
Sumber listrik/ potensial listrik dikaitkan dengan dua titik dalam suatu jaringan listrik dan dalam prakteknya diukur dengan menghubungkan titik-titik tersebut dengan alat yang disebut voltmeter (pengukur tegangan). Dalam jaringan listrik, potensial listrik antara dua titik disebut penurunan tegangan (voltage drops) diantara titik-titik tersebut. Arus dan penurunan tegangan dalam suatu rangkaian listrik dapat positif atau negatif.
Aliran arus dalam jaringan listrik diatur oleh dua prinsip dasar yaitu: hukum Ohm dan hukum Kirchhoff.
b.   Hukum Ohm
Hukum Ohm menjelaskan bahwa besar arus I dalam suatu rangkaian listrik bergantung pada hambatan R dan sumber listrik V. Hukum Ohm ini dijelaskan dengan eksperiman oleh Georgeo Simon Ohm pada tahun 1828. Jika diketahui dua dari V, I dan R maka yang ketiga dapat dihitung. Sebagai contoh, dengan 6 V tegangan dan hambatan 2 W maka I = (6V) / (2W) = 3A.
Hukum ohm juga menjelaskan besarnya daya listrik sirkuit/rangkaian. Besarnya daya yang dipakai dalam sebuah sirkuit sama dengan hasil kali dari tegangan dengan arus. Daya yang digunakan oleh R dalam contoh diatas adalah 6V x 3A = 18 watt. Hubungan ini berlaku untuk arus AC/DC dalam sirkuit. Dengan kata lain, hukum ohm dapat ditulis sebagai "Penurunan tegangan (Voltage drops) yang melintasi hambatan adalah hasil kali arus yang melewatinya dengan hambatannya, yaitu V= I R". 
c.   Hukum Kirchhoff
Terdapat berbagai tipe sirkuit/rangkaian yang komponen–komponennya tidak dalam rangkaian seri, paralel maupun seri paralel. Aturan dalam rangkaian seri paralel tidak mutlak digunakan, melainkan metode-metode umum dari analisis menjadi lebih diperlukan. Metode tersebut adalah hukum Kirchhoff yang dapat digunakan sebagai dasar untuk menyelesaikan masalah-masalah dalam jaringan listrik.
Sebarang sirkuit dapat diselesaikan dengan menggunakan hukum Kirchhoff karena hukum ini tidak bergantung pada hubungan seri maupun paralel dari suatu rangkaian listrik. Landasan teori jaringan ini diletakkan sekitar tahun 1847 oleh fisikawan Jerman, Gustav R. Kirchhoff, yang percobaan-percobaan cermatnya telah menghasilkan hukum-hukum yang disebut dengan namanya.
1) Hukum arus Kirchhoff
Jumlah aljabar dari arus masuk dan meninggalkan sebarang titik dalam sebuah rangkaian harus sama dengan nol. Dengan kata lain, hukum arus Kirchhoff sebagai “jumlah aljabar dari arus yang masuk ke sebarang titik dari suatu rangkaian listrik harus sama dengan jumlah aljabar dari arus yang keluar meninggalkan titik tersebut” (Budiono Mismail: 1995; 35). Jumlah aljabar disini maksudnya kombinasi dari nilai positif dan negatif. Dengan menggunakan hukum Kirchhoff untuk menyelesaikan permasalahan dalam jaringan listrik, perlu mengadakan perjanjian yang menjelaskan tanda-tanda aljabar untuk arus dan tegangan. Sistem yang mudah untuk arus adalah "andaikan semua arus yang menuju titik cabang bertanda positif dan semua arus yang meninggalkan titik tersebut bertanda negatif ".
Hukum arus Kirchhoff tersebut sebenarnya tidak berbeda dengan hukum kekekalan muatan listrik seperti tampak dalam analogi pada Gambar 1 (Bob Foster: 1999; 160). Hukum arus Kirchhoff secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut:                                      
                       
      å I masuk =  å I keluar          ………………………………….. (i)
                           I2
    I1                                                                                   aliran keluar                                                                                                                            
                             I3                       aliran masuk
                  
(a)                                                                                                   (b)
Gambar (1). Skema diagram untuk hukum I Kirchhoff
serta analogi mekaniknya.
Bukti hukum arus Kirchhoff ini sudah jelas karena dalam hal ini tidak ada muatan yang tertimbun pada simpul dan tidak ada arus yang mengalir keluar simpul menuju ke ruang bebas. Jadi paling sedikit harus ada satu jalur yang membawa muatan keluar dari simpul itu. Dalam penggunaan hukum Kirchhoff, tampak arus di suatu simpul adalah nol. Pembatasan berlakunya hukum arus Kirchhoff tersebut adalah tidak boleh ada muatan yang tertimbun dalam simpul. Pengecualian penting untuk hukum ini terjadi jika simpul itu terletak di tengah kapasitor, karena muatan yang tersimpan dalam kapasitor tersebut menyebabkan hukum ini tidak berlaku (Budiono Mismail: 1995; 36).
2) Hukum tegangan Kirchhoff 
Hukum tegangan Kirchhoff menyebutkan bahwa jumlah aljabar sumber tegangan dan penurunan tegangan I R dalam sebarang lingkaran tertutup harus sama dengan nol. Secara matematis, hukum ini dapat didefinisikan sebagai berikut:
V1 + V2 + V3+ … + Vn = 0    …………………………………… (ii)
= 0
Hukum tegangan Kirchhoff ini merupakan akibat dari prinsip kekekalan tenaga yang setara dengan kesetimbangan tenaga dimana tenaga yang diberikan sama dengan tenaga yang diserap oleh rangkaian. Jika kita mulai dari sebarang titik pada satu pontensial dan kembali ke titik dengan potensial yang sama, maka beda potensialnya harus sama dengan nol. Dalam mendefinisikan tanda aljabar untuk tegangan (Voltage) “andaikan sebarang terminal positif dari tegangan yang dicapai terlebih dahulu sebagai positif dan sebaliknya jika terminal negatif dicapai terlebih dahulu maka tandanya negatif”. Metode ini digunakan pada penurunan I R dan sumber tegangan. Arah lintasan ini dapat searah dengan putaran jarum jam (Clock Wise) atau berlawanan dengan arah putaran jarum jam (counter clock wise).
d.   Rangkaian Listrik
Rangkaian listrik biasanya terdiri dari banyak hubungan sehingga akan terdapat banyak cabang maupun titik simpul. Titik simpul adalah titik pertemuan tiga cabang atau lebih. Pada umumnya suatu rangkaian listrik terdiri dari banyak rangkaian tertutup yang mempunyai banyak simpul dengan satu atau lebih sumber. Ada dua bentuk rangkaian yang dapat membantu mempermudah penentuan variable  rangkaian. Bentuk rangkaian listrik tersebut adalah :
a). Rangkaian seri
Arus yang mengalir dalam masing-masing unsur atau sumber yang dihubungkan secara berurutan sesuai dengan hukum Kirchhoff untuk arus, sehingga hanya ada arus tunggal I yang mengalir dalam rangkaian tersebut (Budiono Mismail: 1995; 39)
         i1                                                                  i
 v                                                     v                            Rs
            i2        
                (a)                                               (b)
Gambar 2. Rangkaian seri dengan rangkaian setaranya.
(a) Rangkaian seri dengan dua hambatan, dan
(b) Rangkaian seri secara umum.
b). Rangkaian paralel
Bentuk rangkaian yang kedua adalah bagian rangkaian paralel, seperti yang tampak pada Gambar 3. Dalam bentuk ini variabel tegangan tunggal terpasang untuk semua unsur dan sumbernya.
i                                                                  i                                                                                                                                       
     R1     R2     R3                           v                          Rp                  
(a)                                                            (b)
Gambar 3. Rangkaian paralel dengan rangkaian setaranya.
(a) Rangkaian paralel tiga hambatan, dan
(b) Rangkaian paralel secara umum.
D.  Sistem Digital
Dalam sistem digital yang berukuran besar, seperti komputer, sistem-sistem pengolahan data, pengendalian, atau sistem komunikasi digital, operasi yang dijalankan hanya terdiri dari beberapa macam saja. Tentunya operasi ini dapat terjadi secara berulang-ulang dalam jumlah yang amat besar. Rangkaian yang paling lazim digunakan dalam sistem tersebut dikenal sebagai rangkaian logika atau gerbang logika (Jacob Millman: 1993; 148). Rangkaian logika adalah piranti dua kemungkinan, yakni mempunyai keluaran dua kemungkinan: keluaran dengan nol volt yang menyatakan logika 0 (rendah) dan keluaran dengan tegangan tetap yang menyatakan logika 1 (tinggi). Gerbang logika dapat mempunyai beberapa masukan yang masing-masing mempunyai salah satu dari dua keadaan logika, yaitu 0 dan 1 (KF.Ibrahim: 1996; 23). Gerbang logika ini dapat digunakan untuk melakukan fungsi-fungsi khusus, misalnya OR, AND, NOT, XOR, NAND, NOR, dan flip-flop.
a.   Gerbang OR
            Gerbang adalah suatu rangkaian dengan satu keluaran, dan satu atau beberapa masukan. Suatu gerbang OR mempunyai dua atau lebih dari dua masukan atau satu keluaran. Cara operasinya mengikuti definisi sebagai berikut:  keluaran dari suatu gerbang OR menunjukkan keadaan 1 jika satu atau lebih dari satu masukannya berada pada keadaan 1. Ke-nmasukan dari suatu rangkaian logika akan ditandai dengan huruf A, B, …, N, dan keluarannya dengan huruf Y (Jacob Millman: 1993; 151). Masing-masing simbol tersebut dapat mengambil salah satu dari dua harga yang mungkin yaitu 0 atau 1. Dengan demikian gerbang OR akan memberikan keluaran 1 jika salah satu dari masukannya pada keadaan 1. Jika diinginkan keluaran bernilai 0 maka semua masukan harus dalam keadaan 0 (KF.Ibrahim: 1996; 25)
b.   Gerbang AND
Gerbang AND merupakan jenis rangkaian dasar yang lain. Suatu gerbang AND mempunyai dua atau lebih dari dua masukan dan keluaran tunggal. Cara operasinya mengikuti definisi sebagai berikut: keluaran dari suatu gerbang AND menempati keadaan 1 bila dan hanya bila semua masukan menempati keadaan 1. Dengan kata lain, gerbang AND digunakan untuk menghasilkan logika 1 jika semua masukan mempunyai logika 1, jika tidak maka dihasilkan logika 0.
c.   Gerbang NOT
Jenis rangkaian digital dasar yang lain adalah gerbang NOT yang juga disebut inverter (pembalik). Rangkaian ini mempunyai sebuah masukan dan sebuah keluaran serta melakukan operasi logika peniadaan (negation) sesuai dengan definisi berikut ini: keluaran dari rangkaian NOT akan mengambil keadaan 1 jika dan hanya jika masukannya tidak mengambil keadaan 1. Yang dilakukannya hanyalah membalik sinyal masukan. Jika masukan adalah tinggi, maka keluaran adalah rendah, dan sebaliknya. Ini berarti bila tegangan masukan cukup tinggi, transistor menjadi jenuh sehingga keluaran adalah rendah. Sebaliknya, bila tegangan masukan cukup rendah maka transistor terpancung dan tegangan keluaran adalah tinggi.
d.   Gerbang XOR
Suatu gerbang XOR berasal dari kata Exclusive Or, akan memberikan keluaran 1 jika masukan–masukannya mempunyai keadaan yang berbeda. Maksudnya adalah suatu gerbang XOR memenuhi definisi berikut: Keluaran dari suatu Exclusive Or dengan dua masukan akan sama dengan keadaan 1, jika satu dan hanya satu masukan yang sama dengan keadaan 1. Exclusive Or digunakan dalam bagian proses perhitungan atau aritmetik dari suatu komputer.
e.   Gerbang NAND
Kata NAND merupakan kependekan dari kata NOT-AND, yang merupakan ingkaran dari gerbang AND. Gerbang NAND akan mempunyai keluaran 0 jika semua masukan pada logika 1. Sebaliknya jika ada sebuah logika 0 pada sembarang masukan pada gerbang NAND maka keluarannya akan bernilai 1.
f.    Gerbang NOR
Kata NOR merupakan kependekan dari kata NOT - OR, yang merupakan ingkaran dari gerbang OR. Jadi gerbang OR yang diikuti oleh suatu pembalik pada keluarannya disebut gerbang NOT-OR atau NOR. Gerbang NOR akan memberikan keluaran 0 jika salah satu dari masukannya pada keadaan 1 dan akan memberikan keluaran bernilai 1 jika semua masukan bernilai 0.
g.   Rangkaian Flip-flop
Rangkaian tersebut merupakan sel biner yang dapat menyimpan satu bit informasi. Suatu rangkaian flip-flop mempunyai dua keluaran, satu dengan nilai normal dan yang lain adalah nilai komplemen bit yang tersimpan di dalamnya. Oleh karena itu rangkaian flip-flop juga disebut rangakaian bistabil, yakni rangkaian dengan dua keadaan stabil.

 

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN
A.  Sifat Penelitian
Dengan melihat sifat dan tempat penelitian, penyusunan dan pembahasan skripsi ini adalah bersifat penelitian kepustakaan (library research), yaitu dengan mengkaji, meneliti dan menyelidiki serta mempelajari karya-karya ilmiah yang disajikan dalam bentuk buku, skripsi, ataupun makalah-makalah yang relevan dengan topik penelitian. Kemudian hasilnya dijabarkan dan disusun kembali secara rinci menjadi suatu karya tulis.
B.  Sumber penelitian
Sumber penelitian yang dipakai menjadi bahan penelitian berasal dari berbagai sumber yang tertulis, baik berupa buku-buku, artikel, jurnal, dan tulisan lainnya yang ada kaitannya dengan masalah logika aljabar Boole, listrik dan digital. Adapun sumber penelitian yang digunakan ditinjau dari sifatnya dapat dibedakan menjadi dua, yaitu:
1.      Sumber primer.
Sumber primer adalah sumber-sumber yang memberi data langsung dari sumber pertama. Sumber ini sengaja dibuat untuk keperluan dimasa datang (John W. Best: 1982; 391). Diantara sumber primer dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
33

 

a). Karya Elliot Mendelson yang berjudul “Theory and problems of Boolean algebra and switching circuits”, (Singapore: Mc Graw Hill, Inc, 1987).

b). Karya Mismail Budiono yang berjudul "Rangkaian Listrik", (Bandung: ITB, 1995).
c). Karya Albert Paul Malvino, Donald P. Leach yang berjudul “Prinsip-prinsip dan Penerapan Digital”, diterjemahkan oleh Irwan Wijaya, (Jakarta: Erlangga, 1992).
2.      Sumber sekunder.
Sumber sekunder adalah sumber yang menguraikan dan membicarakan sumber primer. Diantaranya adalah: Pengantar Dasar Matematika Logika dan Teori Himpunan karya Theresia M.H. Tirta Seputro, Teori dan Soal-soal Teori Himpunan karya Seymour Lipschuts yang diterjemahkan oleh Pantur Silaban, Dasar-dasar Teori Rangkaian karya AR. Margunadi, Dasar-dasar rangkaian logika digital karya Mismail Budiono, kemudian Teknik Digitalkarya KF. Ibrahim diterjemahkan oleh P. Insap Santosa, dan karya-karya yang lain.
C.   Metode Penelitian
Metode penelitian yang dipakai adalah:
1.   Interpretasi
Peneliti berusaha menangkap data-data yang tersembunyi didalam hasil penelitian ilmu tertentu dengan dilatarbelakangi struktur hakiki dan norma-norma dasar kemudian memberikan evaluasi kritis dan kemudian menyajikan data-data alternatif.
2.   Komparasi
Perbandingan dilakukan menurut beberapa segi yaitu data lain, teori lain, dan konsep teori lain.
3.   Deskripsi
      Penelitian dideskripsikan secara kongkrit sehingga terlihat membuka cakrawala baru bagi penelitian.
4.   Metode Analisis
1)   Analisis isi (content analysis)
Metode content analysis yaitu suatu teknik penelitian untuk membuat inferensi-inferensi yang dapat ditiru dan shahih data dengan memperhatikan konteksnya (Klaus Krippendarft: 1993; 15). Dari pengelompokan masing-masing data berdasarkan atas analisa terhadap isi tersebut dan dapat mengemukakan uraian yang berdasarkan atas sumber data primer dan penyelesaian-penyelesaian  serta pendapat para ahli yang berkaitan dengan masalah yang dibahas.
2)    Metode deduktif
Berpikir deduktif adalah berpikir yang berangkat dari kebenaran umum mengenai suatu fenomena (teori) dan menggeneralisasikan kebenaran tersebut pada suatu data atau peristiwa (Saifuddin Azwar: 1998; 40). Dengan demikian Metode deduktif yaitu suatu pola pemikiran yang berangkat dari peristiwa yang bersifat umum, kemudian ditarik generalisasi yang bersifat khusus.
3)    Metode  induktif
Berpikir induktif adalah proses mengorganisasikan fakta-fakta atau hasil-hasil pengamatan yang terpisah-pisah menjadi suatu rangkaian hubungan atau suatu generalisasi (Saifuddin Azwar: 1998; 40). Dengan demikian Metode induktif adalah suatu pola pemikiran yang berangkat dari suatu peristiwa yang bersifat khusus, kemudian ditarik generalisasi yang bersifat umum.

 

BAB IV

PEMBAHASAN
A.  Rangkaian Saklar
Penerapan aljabar Boole dalam rangkaian listrik dapat ditunjukkan oleh rangkaian saklar sederhana. Saklar adalah suatu alat yang dihubungkan dengan suatu titik simpul di dalam suatu sirkuit elektris dan boleh diasumsikan sebagai status tersambung atau terputus (Seymour Lipschuts: 1987; 71). Contoh saklar yang sederhana adalah pada bel listrik. Jika tombol bel ditekan maka saklar tertutup, listrik mengalir dan bel berbunyi.
Dua saklar A dan B dapat dihubungkan oleh kawat tembaga dalam rangkaian seri dan rangkaian paralel sebagai berikut:
                                                                                             A
                      A                B                                                                                                                                                             
                                                                                              B
                             (a)                                                          (b)   
            Gambar 4. (a) Rangkaian seri, AÙB. (b) Rangkaian paralel, A Ú B
Sebuah desain rangkaian pengganti Boole berarti sebuah susunan kawat tembaga dan saklar yang dapat dibentuk dengan menggunakan berulang dari rangkaian seri dan rangkaian paralel, maka desain tersebut dapat dijelaskan dengan menggunakan kata sambung  Ú dan Ù (Seymour Lipschuts: 1985; 234).
37

 

Untuk saklar dalam hubungan seri, lampu akan menyala jika Adan B   tersambung. Untuk rangkaian dalam hubungan paralel, lampu akan menyala jika A atau Btersambung. Kedua rangkaian itu dapat dinyatakan dengan pertolongan aljabar Boole sebagai berikut:

L = A Ù Buntuk hubungan seri, dan
L = A Ú Buntuk hubungan paralel. (Mismail Budiono: 1998; 66).
Kedua tabel berikut menjelaskan sifat sebuah rangkaian seri A Ù Bdan sebuah rangkaian paralel A Ú B.
   Tabel 1. Tabel kebenaran logika untuk rangkaian seri
A
B
A Ù B
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
                        
   Tabel 2. Tabel kebenaran logika untuk rangkaian paralel
A
B
A Ú B
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
                          
Pada jaringan-jaringan tertentu, ada saklar yang posisinya terbuka-tertutup/ditentukan oleh saklar yang lain. Yakni jika saklar yang satu terbuka maka saklar yang lain tertutup. Dua saklar yang selalu mempunyai posisi berlawanan ini disebut saklar yang saling berkomplemen. Tabel berikut ini memperlihatkan hubungan diantara sebuah saklar A dan sebuah saklar A¢.
Tabel 3. Tabel kebenaran untuk rangkaian yang saling berkomplemen
A
A¢
1
0
0
1
                          
            Jika kedua saklar yang saling berkomplemen ini mempunyai hubungan seri maka listrik tidak akan mengalir. Sedangkan jika kedua saklar yang saling berkomplemen mempunyai hubungan paralel, arus listrik akan selalu mengalir melalui rangkaian itu. Salah satu saklar akan selalu tersambung jika yang lainnya terputus.
Ketiga tabel di atas identik dengan tabel konjungsi, disjungsi dan peniadaan (negasi) untuk pernyataan (proposisi). Satu-satunya perbedaan adalah bahwa 0 dan 1 digunakan di sini sebagai ganti dari T dan F pada proposisi. Sirkuit saklar memenuhi aturan-aturan yang sama dengan proposisi sehingga mereka membentuk sebuah aljabar Boolean, sebagaimana teorema bahwa aljabar rangkaian pengganti Boole adalah sebuah aljabar Boole (Seymour Lipschutz: 1985; 235). Untuk mencari sifat sebuah rangkaian pengganti Boole maka perlu dibentuk sebuah tabel yang analog dengan tabel kebenaran untuk proposisi.
                                                                                              A             B¢
                       A                                                                        A¢
                                     A¢                                                                     B
                                                                                                  C
                                      (a)                                                 (b)
                  Gambar 5. (a). A Ù ( BÚA¢), (b). (A ÙB¢)Ú [(A¢ Ú C) ÙB]   
Rangkaian (a) dapat dijelaskan oleh AÙ(B ÚA¢) dan rangkaian (b) dapat dijelaskan oleh (A Ù B¢) Ú [(A¢ Ú C) ÙB]. Tinjaulah rangkaian Gambar 5(a) rangkaian di atas. Bagaimana sifat rangkaian tersebut, yakni bilakah rangkaian tersebut akan tersambung (yakni bilakah arus akan mengalir) dan bilakah rangkaian tersebut akan terputus? Sebuah tabel kebenaran dibentuk untuk A Ù (B Ú A¢) sebagai berikut:
Tabel 4. Tabel kebenaran logika
A
B
A¢
B Ú A¢
A Ù (BÚA¢)
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
                                               
Jadi dari tabel kebenaran di atas tampak bahwa pada rangkaian itu arus akan mengalir hanya jika A dan B kedua-duanya tersambung.
Seringkali rangkaian saklar itu dibuat sedemikian rupa sehingga bila saklar tertentu tersambung, secara otomatis hubungan tertentu yang lain juga menyambung atau sebaliknya jika saklar tertentu terputus maka otomatis hubungan yang lain lepas. Untuk rangkaian semacam ini harus dipakai saklar yang sama. Misalnya saklar B pada rangkaian saklar sebagai berikut, dimana bentuk aljabar Boolenya adalah 
 (A Ù B ) Ú (BÙC)
                                 A             B
                                   B              C
                       Gambar 6. Rangkaian saklar
Rangkaian saklar juga dapat dibuat sedemikian rupa sehingga jika saklar yang satu tersambung maka secara otomatis saklar tertentu yang lain terputus dan sebaliknya. Untuk keperluan semacam ini haruslah saklar yang kedua merupakan lawan dari saklar yang pertama, yaitu misalnya saklar yang pertama Bmaka saklar yang kedua B¢. Contohnya rangkaian saklar berikut ini yang dalam logika aljabar Boole adalah (A Ù B) Ú (B¢ ÙC)
                   A             B
                                B¢             C          
                    Gambar 7. Rangkaian saklar
Secara umum, kondisi untuk arus listrik yang mengalir melalui sirkuit terhubung seri adalah A1 Ù AA3  ...  Ù An sebagaimana tampak pada gambar berikut:
                    A1                 A2                A3                  …                     An
Gambar 8. Rangkaian seri
Sedangkan kondisi untuk arus listrik yang mengalir melalui sirkuit saklar yang terhubung secara paralel seperti ditunjukkan pada gambar berikut, adalah AA2 Ú A3  … Ú An

 

                                      A1
                                      A2
                                      .
                                      .
                                      .
                                      An
                             
                  Gambar 9. Rangkaian paralel
Pada sirkuit saklar berikut, arus listrik mengalir jika dan hanya jika (A Ù B) Ú (A¢ Ú B) adalah benar.
                          A                  B
                                A¢
                                 B        
                     
                        Gambar 10. Rangkaian saklar  
        
Gambar tersebut menunjukkan bahwa kita boleh mengkombinasi saklar dalam bentuk seri dan paralel dalam satu rangkaian. Dengan demikian sirkuit ini disebut sirkuit saklar seri-paralel. Secara lebih tepat, jika A suatu pernyataan, maka       A         adalah sirkuit seri-paralel. Jika S, S1, S2, … , Snmerupakan sirkuit seri-paralel, kita bisa membentuk sirkuit saklar seri-paralel baru dengan mengganti suatu saklar dalam S dengan yang lain.
                                                                                                       S
                                                                                                       S2
                 S1           S2                          Sn                               .       .       .            
                                                                                                 .       .       .          
                                                                                                 .       .       .  
                                                                                                       Sn    
Gambar 11. Rangkaian saklar seri-paralel
            Kondisi untuk arus listrik yang mengalir melalui sirkuit seri-paralel dapat ditulis dalam bentuk konjungsi dan disjungsi pada logika proposisi. Pada contoh tersebut kondisi yang sesuai adalah (A Ù B) Ú (A¢ Ú B) (Elliott mendelson: 1987; 72).
Contoh 1:
Tentukan pernyataan simbolik untuk jaringan listrik berikut ini.
                        A                       A¢
                        B                         C
Gambar 12. Rangkaian saklar
Pemecahan:
Perhatikan bahwa A dan Bberhubungan paralel, juga A¢ dan C. Sedang antara A, B dan A¢, Cterdapat hubungan seri. Jadi pernyataan simbolik untuk jaringan listrik di atas adalah (AÚ B) Ù (A¢ Ú C).
Contoh 2:
Tentukan ekspresi Boolean untuk setiap sirkuit saklar pada Gambar 13.
                              B                                                                      C                             
                                                                                       A                                                                          
            A                                 C                                                   
                              A¢                                                                    B¢
                                                                                       B            C¢
                            (a)                                                            (b)
Gambar 13. Rangkaian saklar seri-paralel
Pemecahan:
Kita menggunakan Ú (penjumlahan) untuk menyatakan sirkuit paralel, dan Ù(product) untuk menyatakan sirkuit seri. Sehingga,
(a)    AÙ(B Ú A¢) Ù C
(b)   AÙ(C Ú B¢) Ú (B Ù C¢).
Contoh 3:
Tentukan ekspresi Boolean yang berhubungan dengan setiap sirkuit penyaklaran pada Gambar 14.
 


                            B         C¢                                                          B¢                                                      
                                                                                      A                                                                           
         A                                                                                          C
                                                                                                 
                              D                                                           D¢       
                              (a)                                                               (b)
Gambar 14. Rangkaian seri-paralel
Pemecahan:
Dengan menggunakan operasi Ú untuk menyatakan sirkuit paralel, dan operasi Ù untuk menyatakan sirkuit seri. Sehingga
(a)    AÙ[D Ú (BÙ C¢)],
(b)   [AÙ(B¢Ú C)] Ú D¢
B.  Rangkaian Logika (Gerbang Logika)
Logika sirkuit adalah kerangka yang dibangun dari sirkuit-sirkuit dasar tertentu yang disebut logic gate (gerbang logika). Gerbang (gate) adalah suatu rangkaian logika yang mungkin digambarkan sebagai mesin yang memuat satu masukan atau lebih dan tepat satu keluaran. Masukan diberikan dalam barisan n-bit yang diproses dengan satu bit sirkuit sekaligus untuk menghasilkan sebuah barisan n-bit keluaran.
a.      Gerbang OR
Jenis rangkaian digital dasar pertama yang dibahas adalah gerbang OR. Suatu gerbang OR mempunyai dua atau lebih dari dua masukan dan satu keluaran. Gambar 15 memperlihatkan lambang bagi sebuah gerbang OR N masukan untuk segala jenis rancangan dengan A, B, ... , N merupakan masukan-masukannya dan Y adalah keluarannya.
           A
               B                                       Y = A + B + ... + N
          
           N
          Gambar 15. Simbol logika OR dengan Nmasukan
Untuk saat ini, akan dianalisa suatu gerbang OR dua masukan dengan membatasi tegangan-tegangan masukan pada 0 V atau 1 V. Hanya terdapat empat hal kemugkinan untuk dianalisa:
i).   A = 0 dan B = 0. Dengan kedua tegangan masukan pada nol tegangan keluaran pastilah nol karena tidak terdapat tegangan di manapun dalam rangkaian, oleh karenanya Y = 0
ii).  A = 0 dan B = 1. Batere B memberikan prategangan maju pada dioda bawah, mengakibatkan keluaran secara ideal menjadi 1V. Karena batere A adalah 0V, maka terlihat sebagai suatu hubung singkat. Dioda atas mati, dioda bawah hidup, dan keluaran Y = 1V
iii). A = 1 dan B = 0. akibat simetri rangkaian, argumen dalam hal ini adalah sama dengan arguman pada hal (ii), dioda atas hidup, dioda bawah mati, dan Y = 1V.
iv). A = 1 dan B = 1. dengan kedua masukan pada 1V kedua dioda berprategangan maju. Karena kedua tegangan adalah paralel, tegangan keluaran secara ideal adalah 1V, oleh karenanya Y = 1V.
Berdasarkan analisa diatas, dapat dibuat suatu cara operasi gerbang OR sebagaimana definisi berikut: keluaran dari gerbang OR menunjukkan keadaan 1 jika satu atau lebih dari satu masukannya berada pada keadaan 1.(Jacob Millman: 1993; 151). Ke N masukan dari suatu rangkaian logika akan ditandai dengan huruf A, B, ..., N dan keluarannya dengan huruf Y. Jelas bahwa masing-masing simbol tersebut dapat mengambil salah satu dari dua harga yang mungkin, yakni 0 atau 1. Simbol baku untuk rangkaian OR diberikan dalam Gambar 15 bersama dengan hubungan aljabar boole untuk gerbang yang bersangkutan. Persamaannya harus dibaca "Y sama dengan Aatau B atau ... atau N". Sebagai bentuk lain dari definisi logika dalam kata-kata dapat digunakan suatu tabel logika atau tabel kebenaran (truth table) yang mengandung daftar dari semua harga masukan yang mungkin serta keluaran yang berkaitan.
Kebanyakan rangkaian digital menggunakan dioda dan transistor sebagai saklar untuk mengubah dari satu peringkat tegangan ke peringkat yang lain. Bila kita menganalisa rangkaian digital, kita menentukan apakah suatu tegangan rendah atau tinggi. Harga besar atau nilai tepatnya adalah tidak penting, sepanjang tegangan tersebut dapat dibedakan sebagai rendah atau tinggi.
Dalam rangkaian digital tegangan rendah atau tinggi seringkali dinyatakan masing-masing sebagai 0 dan 1. Sebagai contoh, dalam gerbang OR peringkat masukanya adalah salah satu 2 V atau 10 V, rendah atau tinggi. Jika kita anggap 0 menyatakan 2 V dan 1 menyatakan 10 V, dapat dibuat sebuah tabel kebenaran yang ekuivalen dengan 0 dan 1. Masalahnya adalah kita dapat menggunakan tegangan-tegangan sebenarnya, atau kita dapat menggunakan 0 atau 1 untuk menyatakan rendah atau tinggi; dalam kedua hal tersebut gerbang OR memberikan keluaran tinggi pada saat salah satu atau semua masukannya tinggi.
                                    Tabel 5. Tabel kebenaran
A
B
Y
2V
2V
2V
2V
10V
10V
10V
2V
10V
10V
10V
10V
           
Dalam pada itu, banyaknya baris horisontal dalam sebuah tabel kebenaran sama dengan 2n dengan n adalah banyaknya masukan. Bagi sebuah gerbang dua masukan, tabel kebenarannya mempunyai 22 atau 4 baris. Sebuah gerbang tiga masukan akan memiliki tabel kebenaran dengan 23 atau 8 baris, sedang gerbang empat masukan akan menghasilkan 24 atau 16 baris, dan seterusnya. Sebuah gerbang OR dapat mempunyai berapapun banyaknya masukan yang diinginkan. Enam buah dioda menghasilkan sebuah gerbang OR enam masukan, sembilan buah dioda menghasilkan sebuah gerbang OR sembilan masukan. Berapapun banyaknya masukan, operasi suatu gerbang OR dapat diringkas menjadi: satu atau beberapa masukan tinggi menghasilkan keluaran tinggi.
Dalam aljabar biasa, bila kita memcahkan suatu persamaan untuk mencari akar-akarnya, kita dapat memperoleh bilangan nyata positif, negatif, pecahan, dan sebagainya. Dengan perkataan lain, himpunan bilangan dalam aljabar biasa adalah tak berhingga. Dalam aljabar Boole, bila kita memecahkan suatu persamaan, kita memperoleh 0 atau 1 tidak mungkin diperoleh jawaban lain karena himpunan bilangannya hanya mencakup angka biner 0 dan 1.
Perbedaan lain yang sangat mengherankan dalam aljabar Boole adalah makna tanda Ú (dalam beberapa buku yang lain tanda +). Untuk menjelaskan makna ini, tinjaulah Gambar 16 yang memperlihatkan sebuah gerbang OR dua masukan dengan masukan A dan Bdan keluaran Y.
                   
                   A                                 Y
                   B
                  
                   Gambar 16. Lambang logika gerbang OR dua masukan
Dalam aljabar Boole tanda Ú melambangkan kerja suatu gerbang OR dengan perkataan lain, suatu gerbang OR dapat dipandang sebagai suatu piranti yang menggabungkan A dengan B untuk memberikan hasil Y. Dalam aljabar Boole bila kita menuliskan Y = A ÚB, dimaksudkan bahwa A dan B akan digabungkan dengan cara yang sama seperti gerbang OR menggabungkan A dan B. Ekspresi Y = A Ú B dibaca sebagai Y sama dengan Aatau B. Sekali lagi tanda Ú tidak menyatakan penambahan biasa. Tanda ini menyatakan penambahan OR yang kaidah-kaidahnya diberikan oleh tabel kebenaran OR pada Tabel 6.
Tabel 6. Tabel kebenaran untuk gerbang OR
A
B
Y = A Ú B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
                                 
Untuk membiasakan diri dengan penambahan OR, maka perlu dicari nilai Y = A Ú  B bagi keempat kondisi masukan.
i).   A = 0, B = 0, diperoleh
            Y= A Ú B = 0 Ú  0 = 0
ii).  A= 0 dan B = 1, ini memberikan
Y = A Ú  B = 0 Ú  1 = 1
iii). A= 1 dan B = 0, hal ini seperti (ii)
Y = A Ú  B = 1 Ú  0 = 1
iv). A = 1 dan B = 1, diperoleh
Y = A Ú  B = 1 Ú  1 = 1
Dalam aljabar Boole tanda Ú menyatakan penambahan OR, jenis penambahan yang dilakukan oleh gerbang OR.
Jika diingat bahwa A, B dan Chanya dapat mengambil harga 0 atau 1, maka  dengan mudah dapat dibuktikan persamaaan-persamaan dalam aljabar Boole berikut ini yang berkaitan dengan operasi OR (Ú):
A Ú B Ú C = (AÚ B) Ú C = AÚ (B Ú C)                                        (3)
 AÚ B = BÚ A                                                                         (4)
 AÚ A = A                                                                                (5)
A Ú 1 = 1                                                                                  (6)
A Ú 0 = A                                                                                  (7)
Persamaan-persamaan ini dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi dari operasi OR, tabel logikanya, atau urutan cara kerja rangkaian OR seperti diberikan di atas.
b.      Gerbang AND
Gerbang AND merupakan jenis rangkaian digital dasar yang lain. Gerbang ini memberikan keluaran hanya bila semua masukan hadir. Dengan menggunakan dioda ideal dan membatasi semua tegangan pada salah satu 0 V atau 1 V, terdapat empat hal kemungkinan untuk dianalisa:
(i).  A = 0 dan B = 0, karena kedua batere masukan pada 0 V, maka dapat dipandang sebagai hubung singkat. Batere 1 V mengalirkan arus konvensional dalam arah ke masing-masing segitiga dioda; oleh karena itu, kedua dioda hidup dan terhubung singkat. Dengan demikian Y= 0
(ii). A = 0 dan B = 1, dioda atas berprategangan maju, keluaran masih terhubung singkat ke tanah melalui dioda atas dan batere. Oleh karenanya Y = 0
(iii).A = 1 dan B = 0, akibat simetri, argumennya sama dengan argumen untuk hal (ii), dan Y = 0
(iv).A = 1 dan B = 1, arus tidak mengalir dalam rangkaian. Dengan tiadanya arus pada R, tidak terdapat jatuhan tegangan pada R, sehingga Ypastilah sama dengan 1 V.
Seperti biasanya kita dapat meringkaskan kerja sebuah rangkaian dengan sebuah tabel kebenaran. Penggunaan 0 V dan 1 V hanyalah untuk memudahkan analisa. Kita dapat menggunakan dua nilai tegangan yang berlainan yang manapun.
Tabel 7. Tabel kebenaran untuk gerbang AND
A
B
Y = A Ù B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
           
Dengan demikian suatu gerbang AND mempunyai dua atau lebih dari dua masukan dan keluaran tunggal dan cara operasinya mengikuti definisi sebagai berikut: keluaran dari suatu gerbang AND menempati keadaan 1 jika dan hanya jika semua masukan menempati keadaan 1 (Jacob Millman: 1993; 153). Simbol untuk gerbang AND diberikan pada Gambar 17 bersama dengan hubungan aljabar Boole untuk gerbang tersebut. Persamaannya harus dibaca "Y sama dengan Adan B dan ... dan N.
                 A
                             B                                   Y
                          
                            N
                            Gambar 17. Simbol logika untuk gerbang AND n masukan
Tanda Ù (perkalian) mempunyai makna baru dalam aljabar Boole. Untuk memahami makna ini, tinjaulah gerbang AND pada Gambar 17, gerbang AND dipandang sebagai suatu piranti yang menggabungkan Adan B untuk memberikan hasil Y. Maka dalam aljabar Boole dapat ditulis
                        Y= A ÙB                                                                   
dengan maksud bahwa A dan B akan digabungkan dengan cara yang sama seperti gerbang AND menggabungkan A dan Buntuk menghasilkan Y. Untuk mempraktekkannya, maka harus diselesaikan Y= A Ù B bagi keempat kemungkinan hal yang ada:
(i).        Bila A= 0 dan B = 0, ini memberikan
Y = A Ù B = 0 Ù 0 = 0
Hal ini karena gerbang AND menggabungkan 0 dengan 0 untuk memberikan 0.
(ii).       Bila A= 0 dan B = 1, diperoleh
Y = A Ù B = 0 Ù 1 = 0
Hal ini karena gerbang AND menggabungkan 0 dengan 1 untuk memberikan 0
(iii).      Bila A = 1 dan B = 0, hal ini seperti hal (ii)
Y = A Ù B= 1 Ù 0 = 0
(iv).      Bila A= 1 dan B = 1, ini memberikan
Y = A Ù B = 1 Ù 1 = 1
Keempat hasil ini mudah untuk diingat. Walaupun tanda Ù tidak menyatakan perkalian dalam pengertian biasa, namun hasil perkalian AND sama seperti pada perkalian biasa.
Misalkan sebuah gerbang AND mempunyai tiga masukan. Dan misalkan bahwa kedua peringkat tegangan berlainan 0 V dan 10 V. Jika suatu masukan berada pada 0 V (diketanahkan), dioda yang terhubung ke masukan tersebut berprategangan maju atau terhubung singkat, oleh karena itu keluaran akan terhubung singkat ke tanah. Dengan demikian, Y = 0, bila salah satu masukannya adalah 0. Satu-satunya cara untuk memperoleh Y = 10 V adalah dengan membuat semua masukan secara serentak sama dengan 10 V. Dalam hal ini tidak ada arus melalui R, dan keluaran meningkat ke nilai tegangan penyedia. Jika 0 dianggap menyatakan tegangan rendah dan 1 menyatakan tegangan tinggi, diperoleh tabel kebenaran pada Tabel 8.
Tabel 8. Tabel kebenaran logika untuk gerbang AND tiga masukan
A
B
C
Y = (AÙBÙC)
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
                          
Gerbang AND dapat memiliki berapapun masukan yang diinginkan. Sebagai contoh, 8 buah dioda menghasilkan sebuah gerbang AND delapan masukan, 16 dioda menghasilkan gerbang AND enam belas masukan. Berapapun banyaknya masukan yang dimiliki oleh sebuah gerbang AND, semua masukan harus tinggi untuk mendapatkan keluaran yang tinggi.
Dengan mengingat bahwa A, B dan Chanya dapat mengambil harga 0 atau 1, kita dapat membuktikan persamaan-persamaan berikut ini yang menyangkut operasi AND :
A Ù B Ù C = (A Ù B) Ù C = A  Ù (B Ù C)                               (8)
 A Ù B = B Ù A                                                                  (9)
 A Ù A = A                                                                       (10)
 A Ù 1 = A                                                                        (11)
 A Ù 0 = 0                                                                         (12)
A Ù (B Ú C) = (A Ù B) Ú (A Ù C)                                            (13)
A Ú (A Ù B) = A                                                                       (14)
A Ú (B Ù C) = (A Ú B) Ù (A Ú C)                                            (15)
Persamaan-persamaan ini dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi dari operasi AND, tabel logikanya, atau cara operasi rangkaian AND yang dibahas di atas.
c.       Gerbang NOT
Jenis rangkaian digital yang lain adalah gerbang NOT, yang juga disebut inverter (pembalik). Yang dilakukan hanyalah membalik sinyal masukan. Jika masukan adalah tinggi, maka keluaran adalah rendah, dan sebaliknya. Rangkaian NOT mempunyai satu masukan dan satu keluaran dan melakukan operasi peniadaan (negation) sesuai dengan definisi berikut: keluaran dari rangkaian NOT akan mengambil keadaan 1 jika dan hanya jika masukannya tidak mengambil keadaan 1 (Jacob Millman: 1993; 153).
Jika tegangan masukan cukup tinggi, transistor menjadi jenuh, sehingga keluaran adalah rendah. Sebaliknya, jika tegangan masukan cukup rendah transistor terpancung, dan tegangan keluaran adalah tinggi. Simbol gerbang NOT dan persamaan Boole untuk operasi peniadaan diberikan pada Gambar 18(c). Persamaannya harus dibaca "Y sama dengan bukan A atau Y sama dengan komplemen dari A".

 

A           Y = A¢       A            Y = A¢            A                              Y
                                                                                  Y = A¢
            (a)               (b)                                                (c)
Gambar 18. Peniadaan (pembalikan) logika pada (a) masukan dan (b) keluaran, dari suatu blok (sistem) logika; (c) simbol yang sering digunakanuntuk suatu gerbang NOT dan persamaan Boolean yan bersangkutan.  
                             
Tanda negasi (negation) pada masukan dari suatu kotak logika ditunjukkan dalam Gambar 18(a) dan tanda serupa pada keluarannya ditunjukkan pada Gambar 18(b). Pada Gambar 18(c), masukan Ake gerbang NOT dibalik. Jika 0 masuk, 1 keluar, dan jika 1 masuk, maka 0 keluar. Dalam aljabar Boole ekspresi
            Y= A¢
berarti mengubah A dengan cara yang sama seperti sebuah gerbang NOT mengubah A. Tanda aksen di atas berarti mengubah atau mengkomplemenkan kuantitas yang bersangkutan ke dalam angka alternatif dengan perkataan lain,
Bila A = 0, maka Y = A¢ = 0¢ = 1, karena NOT 0 adalah 1
Bila A = 1, maka Y = A¢ = 1¢ = 0, karena NOT 1 adalah 0.
Tabel kebenaran bagi rangkaian NOT adalah:
Tabel 9. Tabel kebenaran logika untuk gerbang NOT
Masukan (A)
Keluaran (Y)
0
1
1
0
Suatu rangkaian yang dapat melaksanakan operasi peniadaan logika disebut rangkaian NOT. Atau berhubung dengan tanda keluaran yang terbalik terhadap masukannya dalam operasi ini, rangkaian ini dikenal juga sebagai suatu pembalik atau inverter. Keluaran dari pembalik secara relatif berharga lebih positif jika dan hanya jika masukannya relatif kurang positif. Suatu sistem biner  hanya mengenal dua tingkat tegangan, V(0) dan V(1). Keluaran serta masukan dari suatu pembalik (inverter) harus bekerja antara kedua harga tegangan tersebut. Bila masukannya berada pada V(0), maka keluarannya harus ada pada V(1), dan sebaliknya. Jadi secara idel, rangkaian NOT membalik tanda suatu sinyal, namun tetap mempertahankan bentuknya serta tingkat biner yang digunakan dalam operasi sinyal masukan.
Rangkaian ini disebut rangkaian NOT (tidak) karena keluaran tidak sesuai dengan masukannya. Kadang-kadang digunakan tanda bar sebagai pengganti prim/aksen untuk menyatakan operasi NOT, yakni:
Y = `A dapat digunakan sebagai pengganti dari Y = A¢
Namun dalam penelitian ini, penulis lebih akrab dengan menggunakan tanda prim/aksen (¢) untuk menyatakan suatu operasi NOT.
Operasi  OR, AND, dan NOT pada aljabar Boole mungkin dirasakan aneh. Mengapa dibuat operasi-operasi baru seperti ini? Karena operasi-operasi ini menjelaskan gerbang OR, AND, dan NOT, suatu unsur pembangun sistem-sistem logika yang lebih rumit yang tidak dibahas dalam penelitian ini. Dengan aljabar Boole seseorang atau sebuah perusahaan dapat merancang sistem digital secara lebih mudah.
d.      Gerbang XOR
Gerbang XOR berasal dari kata exclusive-or, dan sering dibaca sebagai OR eksklusif. Suatu gerbang OR eksklusif memenuhi definisi sebagai berikut: keluaran dari suatu OR eksklusif dengan dua masukan akan sama dengan keadaan 1 jika satu dan hanya satu masukan yang sama dengan keadaan 1(Jacob Millman: 1993; 163).
              A                                   
                                                  Y = A Å B
              B
                          Gambar 19. Simbol logika untuk rangkaian XOR    
Gambar 19 memperlihatkan simbol standar sebuah gerbang OR eksklusif. Gerbang ini mempunyai dua masukan dan satu keluaran. Masing-masing masukan menuju ke sebuah inverter. Keluaran-keluaran inverter ini adalah A¢ dan B¢. Seperti terlihat pada Gambar 20, A¢ dan Bmenuju ke gerbang AND atas, sehingga keluarannya adalah (A¢ Ù B). Demikian pula, (A Ù B¢) keluar dari gerbang AND bawah. Gerbang OR eksklusif mempunyai masukan-masukan (A Ù B¢) dan (A¢ Ù B), sehingga keluaran akhir adalah Y = (A Ù B¢) Ú  (A¢ Ù B).

 

A                             A¢
                                 
                               B
                                                                                  Y = (AÙB¢) Ú (A¢ÙB)                            
                               A                                                                
                                                       
B                            B¢
Gambar 20. Gerbang OR eksklusif
Akan dianalisa rangkaian pada Gambar 19 yang disebut sebagai gerbang OR eksklusif, yakni dengan mencari nilai Ybagi keempat kondisi yang mungkin
(i).  Bila A = 0 dan B = 0,
Y = (0 Ù 0¢) Ú  (0¢ Ù 0) = (0 Ù 1) Ú (1 Ù 0) = 0 Ú 0 = 0
(ii).       Bila A= 0 dan B = 1,
Y = (0 Ù 1¢) Ù (0¢ Ù 1) = (0 Ù 0) Ú (1 Ù 1) = 0 Ú 1 = 1
(iii).      Bila A= 1 dan B = 0,
Y =(1 Ù 0¢) Ú (1¢ Ù 0) = (1 Ù 1) Ú ( 0 Ù 0) = 1 Ú 0 = 1
(iv).      Bila A= 1 dan B = 1,
Y = (1 Ù 1¢) Ú (1¢ Ù 1) = (1 Ù0) Ú (0 Ù 1) = 0 Ú 0 = 0
Hasil ini diringkaskan dalam tabel kebenaran pada Tabel 10.
Tabel 10. Tabel kebenaran untuk gerbang XOR
Masukan
Keluaran
A
B
Y
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
              
Alasan bagi nama OR eksklusif adalah sebagai berikut: keluaran 1 terjadi bila A atau B adalah 1, namun tidak kedua-duanya. Dinyatakan secara lain, gerbang OR eksklusif mempunyai keluaran 1 hanya jika masukan-masukannya berbeda, keluarannya adalah 0 bila kedua masukannya sama.
Gerbang XOR memberikan kepada kita sebuah fungsi baru untuk dipergunakan. Akan digunakan lambang Å untuk menyatakan fungsi ini. Untuk menjelaskan cara kerja gerbang XOR, dapat dituliskan
Y = A Å B
Bilamana kita melihat Y = A Å B, kita ketahui bahwa keluaran diberikan oleh tabel kebenaran pada Tabel 10.
Lambang logika bagi gerbang XOR dua masukan diberikan pada Gambar 19 bersama hubungan aljabar Boole untuk rangkaian tersebut. Ketika melihat lambang ini, maka harus diingat bahwa masukan harus berbeda untuk mendapatkan keluaran yang tinggi.
e.       Gerbang NAND
Kata NAND merupakan kependekan dari kata NOT-AND, yang merupakan ingkaran dari gerbang AND (K.F. Ibrahim: 1996; 25) Jadi rangkaian  AND yang dibalik disebut suatu gerbang NOT-AND, atau NAND.  Gerbang ini mempunyai beberapa masukan dan satu keluaran. Sistem logika biasanya melibatkan lebih dari satu gerbang yang membentuk suatu kombinasi untuk melakukan suatu fungsi tertentu. Kombinasi sederhana dari sebuah gerbang AND dan sebuah gerbang NOT akan membentuk gerbang NAND yang disajikan pada Gambar 21. Misalkan Adan B adalah masukan-masukan yang menuju gerbang AND, maka keluarannya adalah A ÙB, kemudian masuk menuju gerbang NOT sehingga keluaran akhirnya adalah (AÙB)¢.

 

                      A
                      B                               (AÙB)                              (AÙB)¢                              
                      
            Gambar 21. Contoh sederhana gerbang kombinasi AND dan NOT
Untuk menganalisa suatu gerbang NAND maka harus dicari nilai (A Ù B)¢ bagi keempat kondisi masukan.
(i).        Bila A= 0 dan B = 0, maka
            Y= (A ÙB)¢= (0 Ù0)¢= 0¢= 1
(ii).       Bila A = 0 dan B = 1, maka
            Y = (A Ù B)¢= (0 Ù1)¢= 0¢= 1
(iii).      Bila A= 1 dan B = 0, maka
            Y= (A ÙB)¢= (1 Ù0)¢= 0¢= 1
(iv).Bila A = 1 dan B = 1, maka
            Y= (A ÙB)¢= (1 Ù1)¢= 1¢= 0
Hasil-hasil ini diringkaskan dalam Tabel 11.
   Tabel 11. Tabel logika untuk gerbang NAND
Masukan
Keluaran
A
B
Y
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
          
Dengan demikian gerbang NAND akan mempunyai keluaran 0 bila semua masukan pada keadaan 1. Sebaliknya, jika ada sebuah logika 0 pada sebarang masukan maka keluarannya akan bernilai 1. Dinyatakan secara lain, gerbang NAND mempunyai keluaran 1 hanya bila salah satu atau semua masukan bernilai 0, dan keluarannya adalah 1 jika dan hanya jika semua masukan pada keadaan 1. Simbol logika NAND dengan persamaan Boolean untuk rangkaian tersebut diperlihatkan pada Gambar 22 dibawah ini:
                            A
                                                                     Y = (A Ù B
                            B
Gambar 22. Simbol logika dan persamaan Boole untuk gerbang NAND
dua masukan
Bilamana kita melihat lambang ini, maka perlu diingat cara kerjanya, yaitu salah satu atau semua masukan harus rendah untuk mendapatkan keluaran yang tinggi.
f.    Gerbang NOR
Suatu gerbang OR yang diikuti oleh suatu pembalik pada keluarannya disebut gerbang NOT-OR atau NOR (Jacob Millman: 1993; 170) Jadi gerbang NOR merupakan ingkaran dari gerbang OR. Gerbang NOR akan memberikan keluaran 0 jika salah satu dari masukannya bernilai 1, jika diinginkan keluaran bernilai 1 makasemua masukan harus dalam keadan 0. Simbol logika untuk gerbang NOR dan persamaan Boole untuk gerbang tersebut diperlihatkan pada Gambar 23 dan tabel logikanya pada Tabel 12.
  
                   A
                                                        Y
                   B
                              Y = (AÚ B
Gambar 23. Simbol logika dan persamaan Boole untuk gerbang NOR dua masukan.
           
             Tabel 12. Tabel logika untuk gerbang NOR
Masukan
Keluaran
A
B
Y= (AÚ B
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
Sistem logika biasanya melibatkan lebih dari satu gerbang yang membentuk suatu kombinasi untuk melakukan suatu fungsi tertentu. Notasi NOT digunakan untuk menyajikan sebarang fungsi pembalik (ingkaran). Fungsi NOR dapat dibangun dengan sebuah gerbang OR diikuti dengan sebuah gerbang NOT seperti tersaji pada Gambar 24.

 

                         A
                                                           (AÚB)                        (AÚB
                         B
                            Gambar 24. Gerbang kombinasi OR dan NOT.
Masing-masing masukan menuju ke sebuah gerbang OR, keluaran-keluaran dari OR ini adalah (AÚB). Kemudian (AÚB) menuju ke gerbang NOT, maka keluarannya adalah (AÚ B)¢. Sehingga keluaran akhir adalah Y= (AÚ B
Untuk menganalisanya, maka harus dicari nilai Y untuk empat hal kemungkinan kondisi masukan
(i).        Bila A = 0 dan B = 0,
Y = (AÚ B)¢ = (0 Ú 0)¢ = 0¢ = 1
(ii).       Bila A = 0 dan B = 1,
Y = (AÚ B)¢ = (0 Ú 1)¢ = 1¢ = 0
(iii).      Bila A = 1 dan B = 0,
Y = (AÚ B)¢ = (1 Ú 0)¢ = 1¢ = 0
(iv).      Bila A = 1 dan B = 1,
            Y = (AÚ B)¢= (1 Ú 1)¢ = 1¢ = 0
Hasil-hasil ini diringkaskan dalam Tabel 12 di atas.
Gerbang NOR memberikan kepada kita fungsi baru untuk dipergunakan. Untuk menjelaskan cara kerja gerbang NOR, dapat dituliskan secara matematis
                  Y= (A Ú B
Bilamana kita melihat Y = (A Ú B)¢, maka harus kita ketahui bahwa keluaran diberikan oleh tabel kebenaran pada Tabel 12. Bilamana kita melihat lambang NOR maka harus ingat cara kejanya, yakni semua masukan harus rendah untuk mendapatkan keluaran yang tinggi.
Contoh 4:
a.       Carilah ekspresi Boole bagi keluaran pada Gambar 25.
b.      Evaluasilah ekspresi Boole ini bagi semua kemungkinan kombinasi masukan.
             A                                                Y
            
             B
Gambar 25. Rangkaian logika.
Pemecahan:
a.       Masukan-masukan ke gerbang AND adalah A¢ dan B. Oleh karenanya masukan ke gerbang NOT adalah (A¢ÙB). Keluaran akhir adalah Y = (A¢ Ù B
b.      Bila A = 0 dan B =0, maka
Y = (A¢Ù B)¢ = (0¢Ù0)¢ = (1Ù0)¢ = 0¢ = 1
Bila A = 0 dan B = 1,maka
Y = (A¢Ù B)¢ = (0¢Ù1)¢ = (1Ù1)¢ = 1¢ = 0
Bila A = 1 dan B = 0, maka
Y = (A¢Ù B)¢ = (1¢Ù0)¢ = (0Ù0)¢ = 0¢ = 1
Bila A = 1 dan B = 1, maka
Y = (A¢Ù B)¢ = (1¢Ù1)¢ = (0Ù1)¢ = 0¢ = 0
Contoh 5:
Tunjukkan bagaimana setiap pasangan barisan bit-bit berikut diproses oleh sebuah gerbang OR
  1. 110001                                               
101101                                                                                   
  1. 10001111                                                       
00111100                                           
  1. 101100111000
000111001101
Pemecahan:
Perlu diingat bahwa 0 muncul sebagai keluaran dari sebuah gerbang OR hanya bilamana kedua masukan adalah 0. Dalam (a) keadaan ini hanya muncul pada posisi ke-5; dalam (b) hanya pada posisi ke-2; dalam (c) hanya pada posisi ke-2 dan ke-11. sehingga keluarannya adalah
(a)    111101
(b)   10111111
(c)    101111111101
Contoh 6:
a.       Tentukan ekspresi Boole Y = f (A, B, C) untuk sirkuit logika pada Gambar 26(a).
b.      Tentukan tabel kebenarannya.
   A
   B
   C
                                                                                                       Y
                                                                                                     
                                       (a)
   A                                                        A
   B                                                        B
   C                                         C¢                                                      
                                               B                                                   Y = (A Ù B Ù C¢) Ú    
                                              C¢                                                           (B ÙC¢) Ú
                                              A¢                                                           (A¢ÙB)
                                              B
                                      (b)
                         Gambar 26. Rangkaian logika
Pemecahan :
a. Ini adalah sebuah sirkuit AND-OR. Masukan kedalam gerbang AND pertama adalah A, B, C¢; ke dalam gerbang AND kedua aalah B dan C¢, dan ke dalam gerbang AND ketiga adalah A¢ dan B. Sehingga seperti ditunjukkan pada gambar 26(b), Y = (A Ù B Ù C¢) Ú  (B Ù C¢) Ú (A¢ Ù B)
b. Karena ada 3 masukan maka tabel kebanaran dari sirkuit akan memuat barisan-barisan 8-bit. Kita hitung sebagai berikut:
A = 0001111             C = 01010101           C¢ = 10101010      BC¢ = 00100010
B = 00110011           A¢ = 11110000         ABC¢ = 00000010   A¢B = 00110000
Sehingga  Y = 00110010. Dengan demikian, tabel kebenarannya adalah:
                    Tabel 13. Tabel kebenaran logika
A
B
C
Y
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
g.      Rangkaian Flip-flop
Suatu rangkaian flip-flop dapat mempertahankan suatu keadaan biner dalam waktu yang tak terbatas sampai suatu sinyal masukan baru datang untuk mengubah keadaan itu. Informasi biner dapat masuk ke suatu flip-flop dengan berbagai cara sehingga mengakibatkan tersedia berbagai ragam jenis flip-flop. Masing-masing jenis flip-flop itu mempunyai karakteristik tersendiri yang diperlukan untuk pemakaian tertentu. Perbedaan utama diantara berbagai jenis flip-flop itu adalah banyaknya masukan yang dimiliki dan perilaku masukan itu mempengaruhi keadaan biner dalam flip-flop tersebut. Jenis flip-flop yang dibahas dalam penelitian ini adalah jenis rangkaian flip-flop dasar.
Suatu rangkaian flip-flop dapat disusun dengan dua gerbang NOR atau dua gerbang NAND. Susunan itu diperlihatkan pada Gambar 27 dan Gambar 28. Masing-masing rangkaian itu membentuk suatu flip-flop dasar yang merupakan dasar pengembangan bagi jenis-jenis flip-flop yang lain. Hubungan silang dari keluaran salah satu gerbang ke masukan gerbang yang lain merupakan suatu jalur umpan balik. Masing-masing flip-flop itu mempunyai dua keluaran, Q dan Q¢ dan dua masukan, setdan reset. Masukan set membuat flip-flop manjadi dalam keadaan set atau bernilai logika 1 pada keluaran normalnya (Q), dan masukan reset membuat flip-flop menjadi dalam keadaan bebas atau mempunyai logika 0 pada keluaran norrmalnya.
Untuk menganalisis rangkaian pada Gambar 27 harus diingat bahwa keluaran suatu gerbang NOR  adalah 0 jika salah satu masukannya sama dengan 1 dan keluaran gerbang NOR adalah 1 jika hanya jika semua masukannya sama dengan 0.
       1             Reset
       0                  R 
                                          A     
       0
       1                     S          B
                     Set
Gambar 27. Rangkaian flip-flop dasar dengan gerbang NOR
Tabel 14. Tabel kebenaran flip-flop dasar dengan gerbang NOR
S                R
Q = (S Ú R)¢              Q¢= (S Ú R
 1                 0
1                            0
 0                 0
1                            0
 0                 1
0                            1
 0                 0
0                            1
 1                 1
0                            0
Sebagai titik awal, diandaikan masukan set adalah 1 dan masukan reset sama dengan 0. Karena gerbang Bmempunyai sebuah masukan 1, keluaran Q¢ harus sama dengan 0 yang mengakibatkan kedua masukan ke gerbang A itu sama dengan 0 dan keluarannya Q sama dengan 1. Bila masukan set dikembalikan ke 0, keluarannya tetap sama. Hal itu adalah karena Q tetap 1 sehingga masih ada sebuah masukan 1 pada gerbang B, yang selanjutnya membuat keluaran Q¢tetap 0. Akibatnya kedua masukan ke gerbang A sama dengan 0 dan keluaran Q tetap sama dengan 1. Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa suatu 1 pada masukan reset akan mengubah keluaran Q menjadi 0 dan Q¢menjadi 1.
Bila reset itu dikembalikan ke 0 keluarannya tidak berubah. Bila sebuah 1 diberikan bersama-sama ke masukan set dan reset, kedua keluarannya, Q dan Q¢ menjadi 0. Dalam praktik keadaan semacam itu harus dihindari.
Suatu flip-flop mempunyai dua keadaan stabil, sehingga sering disebut sebagai untai biner atau untai bistabil (bistable circuit). Bila Q = 1 dan Q¢ = 0 dikatakan flip-flop itu dalam keadaan set atau keadaan 1. Dan Q = 0 dan Q¢ = 1 merupakan keadaan bebas atau keadaan 0. Keluaran Q dan Q¢merupakan komplemen antara yang satu dengan yang lain dan dikatakan sebagai keluaran normal. Keadaan biner suatu flip-flop diambil dari nilai keluaran normalnya.
Dalam operasi normal, kedua masukan suatu flip-flop akan tetap 0 kecuali jika keadaan flip-flop itu akan diubah. Pengenaan 1 sesaat ke masukan set menyebabkan flip-flop itu menjadi dalam keadaan set. Masukan set itu harus kembali ke 0 sebelum suatu 1 diberikan ke masukan resetnya. Pengenaan 1 sesaat ke masukan reset menyebabkan flip-flop tersebut menjadi dalam keadaan bebas kembali. Bila kedua masukannya itu mula-mula sama dengan 0, dan bila suatu 1 dikenakan ke masukan set sedangkan flip-flop itu dalam keadaan set atau bila sebuah 1 yang diberikan ke masukan reset sedangkan flip-flop itu dalam keadaan bebas, maka keadaan keluarannya tidak akan berubah. Bila sebuah 1 dikenakan sekaligus ke masukan set dan reset, kedua keluarannya akan sama dengan 0. Keadaan itu tidak terdefinisi dan biasanya dihindari. Jika kedua masukan itu menjadi 0 kembali, keadaan flip-flop menjadi tidak tentu dan tergantung pada masukan mana yang menerima 1 lebih lama sebelum kembali ke 0.
        1         Set
        0                 S
                                        A
        1
        0      Reset   R           B
Gambar 28. Rangkaian flip-flop dasar dengan gerbang NAND
Tabel 15. Tabel kebenaran flip-flop dasar dengan gebang NAND
S            R
 Q = (S ÙR        Q¢= (S Ù R
1            0
0                          1
1            1
0                          1
0            1
1                          0
1            1
1                          0
0            0
1                          1
Rangkaian flip-flop dasar NAND pada Gambar 28 bekerja dengan dua masukannya dalam keadaan normal sama dengan 1 kecuali bila keadaan flip-flop itu akan diubah. Pengenaan 0 sesaat ke masukan set akan menyebabkan keluaran Q menjadi 1 dan Q¢menjadi 0, membuat flip-flop menjadi dalam keadaan set. Setelah masukan set itu kembali ke 1, 0 sesaat pada masukan reset akan menyebabkan keadaan flip-flop menjadi bebas. Bila kedua masukan itu menjadi 0 bersama-sama, kedua keluaran pada flip-flop itu sama dengan 1. Ini adalah suatu keadaan yang harus dihindari dalam praktik.

C.  Penyederhanaan Rangkaian

Kita telah menggunakan logika aljabar Boole untuk mengembangkan sirkuit saklar dan kita dapat menggunakannya untuk menyederhanakan suatu rangkaian (sirkuit). Kondisi untuk arus yang mengalir pada Gambar 29 adalah (A Ù C) Ú(A¢ÚB). Bentuk ini akan ekuivalen dengan ((A Ù C) Ú A¢) Ú B, dan ekuivalen lagi dengan C Ú A¢ Ú B, sebagaimana perhitungan berikut:
(A Ù C) Ú (A¢ Ú B) = ((A ÙC) ÚA¢) ÚB
        = [(A Ú A¢) Ù (CÚA¢)] ÚB
        = [1 Ù (C Ú A¢)] Ú B
        = (C Ú A¢) Ú B
   A                   C
                                A¢          
                               
                                  B
            Gambar 29. Rangkaian saklar  
Oleh karena itu sirkuit pada gambar 29 dapat diubah menjadi sirkuit seperti pada Gambar 30 berikut:
                                     C
                                   A¢
                                     B
              Gambar 30. Rangkaian yang lebih sederhana
Sirkuit pada Gambar 30 merupakan penyederhanaan rangkaian dari Gambar 29, sehingga hanya membutuhkan saklar yang lebih sedikit.
Dalam penggunaan praktis, seseorang atau sebuah perusahaan dapat menghemat banyak biaya dan waktu apabila banyaknya jalur yang dibutuhkan dalam suatu jaringan atau rangkaian dikurangi. Dua buah rangkaian dikatakan ekuivalen jika kedua rangkaian itu mempunyai fungsi sama, yaitu jika listrik dapat mengalir pada rangkaian yang pertama maka listrik juga dapat mengalir pada rangkaian yang kedua dan sebaliknya, apabila listrik tidak dapat mengalir pada rangkaian yang pertama maka listrik juga tidak dapat mengalir pada rangkaian yang kedua (Theresia M.H.Tirta seputro: 1992; 213). 
Misalkan sebuah rangkaian seperti dibawah ini akan diubah menjadi sebuah rangkaian yang lebih sederhana dan ekuivalen.
                                        A                     B
                                        A                     B¢
                                        A¢                    B¢
                                          Gambar 31.
Mula-mula ditulis sebuah rangkaian pengganti Boole yang menyatakan rangkaian tersebut, yaitu (A Ù B) Ú(A ÙB¢) Ú(A¢ÙB¢) kemudian disederhanakan.
(A Ù B) Ú (AÙB¢) Ú(A¢ÙB¢)  = [A Ù (B Ú B¢)] Ú (A¢ Ú B¢)
                                                    = [A Ù 1] Ú (A¢ Ù B¢)
                                                    = AÚ (A¢ Ù B¢)
                                                    = (A Ú A¢) Ù (AÚB¢)
                                                    = 1 Ù (A Ú B¢)
                                                    = A Ú B¢
Jadi kondisi rangkaian (A ÙB) Ú(A ÙB¢) Ú(A¢ÙB¢) ekuivalen dengan A Ú B¢, sehingga gambar rangkaiannya adalah
                                          A
                             B¢
Gambar 32. Rangkaian ekuivalen
Tabel kebenaran berikut menjelaskan penyelesaian contoh di atas.
Tabel 16. Tabel kebenaran logika.
A
B
(A    Ù     B)     Ú     (A      Ù     B¢)   Ú    (A¢     Ù    B¢)
(A    Ú   B¢)
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
Langkah
1
2
1
3
1
2
1
4
1
2
1
1
2
1
                                       
Dari tabel kebenaran di atas nampak bahwa rangkaian dengan simbol (A Ù B) Ú (A Ù B¢) Ú (A¢ Ù B¢) ekuivalen dengan rangkaian (A Ú B¢), karena kedua rangkaian tersebut mempunyai nilai kebenaran sama. Jadi sangat tidak praktis bila seseorang membuat rangkaian saklar seperti pada Gambar 31, lebih sederhana adalah rangkaian pada Gambar 32.
Dengan demikian, suatu ekspresi Boole yang rumit dapat disederhanakan dengan menggunakan hukum-hukum dan teorema-teorema dalam aljabar Boole. Ini berarti membangun sebuah rangkaian yang lebih sederhana sebagai pengganti rangkaian yang lebih rumit.
Misalkan sebuah rangkaian digital mempunyai keluaran yang dinyatakan sebagai
Y = (AÙC) Ú(AÙBÙC)
Persamaan ini menyatakan bahwa keluaran Y diperoleh dengan
  1. meng AND kan A dan C
  2. meng AND kan A, B, dan C
  3. meng OR kan AC dan ABC
Gambar 33 memperlihatkan rangkaian digital bagi Y = (AÙC)Ú(AÙBÙC). Rangkaian ini menggunakan dua buah gerbang AND dan sebuah gerbang OR. Rangkaian ini lebih rumit daripada semestinya karena ekspresi aslinya dapat disederhanakan sebagai berikit:
Y = (A Ù C) Ú(AÙBÙC)
               = (A Ù C) Ù (1 Ú B)
               = (A Ù C)
Gambar 33(b) menggambarkan rangkaian logika bagi Y = A Ù C. Rangkaian ini hanya menggunakan sebuah gerbang AND. Permasalahannya menjadi jelas karena berkurangnya perangkat keras yang digunakan untuk membangun rangkaiannya.
A
C
                                                                                   A                        Y= A ÙC
                                                                                  C
          B
(a)                                                               (b)           
Gambar 33. Menyederhanakan rangkaian logika.
Untuk membangun rangkaian bagi Y = (AÙBÙC)Ú(AÙB¢ÙC)Ú(AÙBÙC¢), dibutuhkan piranti-piranti sebagai berikut:
  • Sebuah gerbang OR tiga masukan untuk menambahkan ABC, AB¢C, dan ABC¢
  • Tiga buah gerbang AND tiga masukan untuk menghasilkan ABC, AB¢C, dan ABC¢
  • Dua buah gerbang NOT untuk menghasilkan B¢ dan C¢.
Gambar 34 memperlihatkan hubungan yang sesuai dengan elemen-elemen ini. Dengan menggunakan hukum dan teorema Boole, ekspresi aslinya dapat disederhanakan, dan diperoleh
Y = (AÙBÙC) Ú(AÙB¢ÙC) Ú(AÙBÙC¢)
   = [(A ÙC) Ù(B ÚB¢)] Ú(AÙBÙC¢)
   = (A ÙC) Ú(AÙBÙC¢)
    = A Ù(C Ú(B ÙC¢))
    = A Ù(C ÚB)
    = A Ù(B ÚC)
Ekspresi ini mengarah kepada rangkaian logika yang lebih sederhana. Hanya dibutuhkan sebuah gerbang AND dua masukan dan sebuah gerbang OR dua masukan, seperti terlihat pada Gambar 34(b).
   A                                                           AÙBÙC
   B                                                            
   C
                                                                AÙB¢ÙC                      Y = (AÙBÙC) Ú
                                                                                                           (AÙB¢ÙC) Ú
                                                                                                            (AÙBÙC¢)
                                                                 AÙBÙC¢ 
                                       (a)
  A
                                                               Y = A Ù(BÚC)
   B
   C
                                       (b)
Gambar 34. Rangkaian logika ekuivalen
Kedua rangkaian logika pada Gambar 34 adalah identik sepanjang berkenaan dengan operasi masukan-keluarannya. Dengan perkataan lain, keduanya dapat saling menggantikan. Rangkaian pada gambar 34(b) lebih disukai karena menggunakan lebih sedikit perangkat keras dan lebih mudah dibangun.

 

BAB V

PENUTUP
A.        Kesimpulan
Penerapan aljabar Boolean dapat ditunjukkan pada sebuah rangkaian/sirkuit saklar sederhana dan rangkaian digital dasar. Semua operasi logika dalam suatu rangkaian saklar tergantung pada ada atau tiadanya arus yang mengalir melalui rangkaian. Operasi logika dalam suatu rangkaian digital tergantung pada ada atau tiadanya sinyal masukan.
Pada rangkaian saklar, tanda Úmenyatakan operasi penjumlahan yang digunakan untuk sebuah rangkaian paralel. Tanda Ùmenyatakan operasi perkalian untuk rangkaian seri dan tanda ¢menyatakan operasi untuk rangkaian saklar yang sifatnya terbuka-tertutup (berkomplemen). Pada rangkaian digital tanda Úmenyatakan penambahan OR, cara yang digunakan oleh sebuah gerbang OR dalam menggabungkan masukan-masukannya untuk menghasilkan keluarannya. Tanda Ùmenyatakan perkalian AND, dan tanda ¢ menyatakan operasi rangkaian NOT. Dengan menggabungkan rangkaian-rangkaian OR, AND, dan NOT menurut cara yang sesuai, dapat dibangun rangkaian-rangkaian yang melakukan penambahan maupun pengurangan, yaitu rangkaian XOR, NAND dan rangkaian NOR.
B.        Saran
76

 

Seringkali seorang pembaca memiliki pengertian yang tidak sama dengan sesuatu yang ditulis oleh penulis, dan pendengar memiliki pengertian yang berbeda dengan sesuatu yang dikatakan oleh pembicara. Maka hendaknya ia mempelajari tentang bagaimana menggunakan logika. Karena logika dapat membantu menghindari salah penafsiran dan meningkatkan keahlian dalam berpikir analitis.

Aljabar Boole merupakan suatu cara baru untuk berpikir dan menjelaskan tentang berbagai hal. Aljabar tersebut dapat digunakan untuk menguraikan operasi dan menyederhanakan rangkaian yang lebih rumit. Hendaknya perancang harus memahami aljabar Boole sebelum membangun sebuah rangkaian. Perancang sirkuit saklar dan system digital menggunakan aljabar Boole untuk mengubah suatu diagram rangkaian menjadi pernyataan aljabar dan sebaliknya. Sehingga ia mampu membangun sebuah rangkaian dengan mudah dan perangkat keras yang lebih sedikit

 

DAFTAR PUSTAKA

A.Yusuf Ali, (trans). 1983. The Holy Quran. Maryland: Amana Corp. Dalam Mohaini Mohamed, 2001. Matematikawan Muslim terkemuka. Jakarta: Salemba teknika.
Agus Nggermanto, 2001. Quantum quotient (kecerdasan quantum): Cara cepat melejitkan IQ, EQ, SQ secara harmonis. Bandung: Nuansa.
Albert Paul Malvino, 1994. Prinsip-prinsip Elektronika Jilid 1. Jakarta: Erlangga.
______, 1992. Prinsip-prinsip dan penerapan digital. Jakarta: Erlangga.
AR. Margunadi, 1991. Dasar-dasar teori rangkaian. Jakarta: Erlangga.
B.Enderton Herbert, 1972. A Mathematical introduction in logic. San Diego California: Academic Press, Inc.
Budiono Mismail, 1995. Rangkaian listrik jilid pertama. Bandung: ITB.
______, 1998. Dasar-dasar rangkaian logika digital. Bandung: ITB.
Burhanuddin Salam, 1998. Logika formal (filsafat berpikir). Jakarta: Bina Aksara.
C.Lee Samuel, 1978. Teori switching dan desain digital. Jakarta: Erlangga.
______, 1994. Rangkaian digital dan rancangan logika (digital circuit and logic design). Jakarta: Erlangga.
David A, 1987. Analisis dan desain rangkaian terpadu digital. Jakarta: Erlangga
Depag RI, 1999. Al-Quran dan terjemahannya (revisi terbaru). Semarang: CV. Asy-Syifa'.
ET.Russeffenndi, 1982. Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru. Bandung: Tarsito.
Foster Bob, 2000. Terpadu Fisika SMU Jilid 2A. Jakarta: Erlangga
J.Bueche Frederick, 1994. Teori dan soal-soal Fisika. Jakarta: Erlangga.
KF. Ibrahim, 1996. Teknik digital. Yogyakarta: ANDI.
Krippendarft Klaus, 1993. Analisis isi, pengantar teori dan metodologis. Jakarta: Raja Grafindo Persada.
78

 

 

Lipschuts Seymour, 1985. Seri Schaum: Teori dan soal-soal teori Himpunan (Set teori). Jakarta: Erlangga.
______, 1988. Matematika hingga edisi SI (metric). Jakarta: Erlangga.
______, 2000. Seri penyelesaian soal Schaum: Matematika diskrit I. Singapore: Mc Graw Hill.
Maelani  Satyoadi, 2003. Elctronika digital. Yogyakarta: ANDI.
Mendelson Elliot, 1987. Theory and problems of Boolean Algebra and switching circuits. Singapore: Mc Graw Hill, Inc.
Millman Jacob, 1993. Elektronika terpadu: Rangkaian dan sistem analaog dan digital. Jakarta: Erlangga.
Mohaini Mohamed, 2001. Matematikawan Muslim terkemuka. Jakarta: Salemba Teknika.
Putra Arimbawa, 2002. Skripsi: Penerapan Aljabar Linear di bidang Fisika dan Geometri. Yogyakarta: Fak. MIPA UGM.
RG. Soekadijo, 1994. Logika dasar: tradisional, simbolik, dan induktif. Jakarta: Gramedia.
R.Monaco Fred, 1991. Essential Mathematics for electronics Technicians. Singapore: Macmillan Publishing Company.
R.Soedjadi, 2000. Kiat pendidikan Matematika di Indonesia: Konstatasi keadaan masa kini menuju harapan masa depan. Departemen Pendidikan Nasional.
Saifuddin Azwar, 1998. Metode penelitian. Yogyakarta: Pustaka Pelajar.
ST. Negoro, 1998. Ensiklopedia Matematika. Jakarta; Ghalia Indonesia.
Sumaji dkk, 1997. Pendidikan Sains ynag humanistis. Yogyakarta: Kanisius.
Sutrisno Hadi, 1990. Metodologi research. Yogyakarta: Andi Offset.
Theresia MH. Tirta Seputro, 1992. Pengantar dasar Matematika logika dan teori Himpunan. Jakarta: Erlangga.
Tim Redaksi DRIYARKARA, 1993. Hakekat pengetahuan dan cara kerja Ilmu-Ilmu. Jakarta: Gramedia.
W.Best John, 1982. Metodologi penelitian pendidikan. Surabaya: Usaha Nasional.
hosting
author
No Response

Leave a reply "APLIKASI LOGIKA MATEMATIKA PADA PENYUSUNAN JARINGAN LISTRIK"